Seja \r
\r. A função vetorial é contínua em \r
\r ? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá a função vetorial
definida por
O conteúdo aqui é continuidade de função vetorial. Para mostrar que
é contínua em
, vamos usar que funções elementares (exponencial, seno e cosseno) são contínuas e que soma, produto e composição de funções contínuas permanecem contínuas.
Passo 2
Observe cada componente de
:
– A função é contínua em
.
– As funções e
são contínuas em
.
Como produto de funções contínuas é contínuo, segue que
– A função
– As funções
Como produto de funções contínuas é contínuo, segue que
são contínuas em
.
Passo 3
Uma função vetorial
é contínua se, e somente se, cada componente
e
for contínua. Acabamos de mostrar que tanto
quanto
são contínuas em todo
. Portanto,
é contínua em
.
Resposta
Sim. Como cada componente de
é produto de funções contínuas
,
,
, a função vetorial
é contínua em todo
.