Seja \r \vec{r}(t)=\left(e^{t} \cos t, e^{t} \sin t\right)\r. A função vetorial é contínua em \r \mathbb{R}\r ? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial \vec{r}\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 definida por
\vec{r}(t)=\bigl(e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t\bigr).
O conteúdo aqui é continuidade de função vetorial. Para mostrar que \vec{r} é contínua em \mathbb{R}, vamos usar que funções elementares (exponencial, seno e cosseno) são contínuas e que soma, produto e composição de funções contínuas permanecem contínuas.

Passo 2

Observe cada componente de \vec{r}(t):
– A função t\mapsto e^{t} é contínua em \mathbb{R}.
– As funções t\mapsto\cos t e t\mapsto\sin t são contínuas em \mathbb{R}.
Como produto de funções contínuas é contínuo, segue que
t\;\mapsto\;e^{t}\cos t \quad\text{e}\quad t\;\mapsto\;e^{t}\sin t
são contínuas em \mathbb{R}.

Passo 3

Uma função vetorial \vec{r}(t)=(r_1(t),r_2(t)) é contínua se, e somente se, cada componente r_1 e r_2 for contínua. Acabamos de mostrar que tanto r_1(t)=e^{t}\cos t quanto r_2(t)=e^{t}\sin t são contínuas em todo \mathbb{R}. Portanto, \vec{r}(t) é contínua em \mathbb{R}.

Resposta

Sim. Como cada componente de \vec{r}(t) é produto de funções contínuas e^{t}, \cos t, \sin t, a função vetorial \vec{r}(t) é contínua em todo \mathbb{R}.

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