Considerando as séries dadas, estude a sua convergência ou divergência. Quando possível calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{4^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{4^{n}}
e, quando possível, calcular a sua soma. Informações relevantes dadas:
  • O termo geral da série é \dfrac{(-1)^{n}}{4^{n}}.
  • A série é de termos alternados (os sinais trocam) e tem fator 4^{n} no denominador.

Passo 2

Reescrever o termo geral de forma mais conveniente para reconhecer o tipo de série. Observa-se que
\frac{(-1)^{n}}{4^{n}}=\left(\frac{-1}{4}\right)^{n}.
Logo a série pode ser escrita como
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-1}{4}\right)^{n}.
Isto mostra que a série é uma série geométrica com razão
r=\frac{-1}{4}.

Passo 3

Lembrete/princípio sobre séries geométricas (mini-aula): para uma série geométrica do tipo
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n},
valem as seguintes afirmações:
  • Se |r|<1, então a série converge e sua soma é
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
  • Se |r|\ge 1, a série diverge.
    Derivação rápida da fórmula (útil na prova): os somatórios parciais são
S_N=\sum_{n=1}^{N} r^{n}=r\frac{1-r^{N}}{1-r}\quad(\text{quando }r\neq1).
Tomando o limite N\to\infty, se |r|<1 então r^{N}\to0 e vem
\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{r}{1-r}.

Passo 4

Aplicar o resultado ao nosso caso. Temos r=-\tfrac{1}{4} e |r|=\tfrac{1}{4}<1, portanto a série converge. A soma é
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-1}{4}\right)^{n}=\frac{-\tfrac{1}{4}}{1-(-\tfrac{1}{4})}=\frac{-\tfrac{1}{4}}{1+\tfrac{1}{4}}=\frac{-\tfrac{1}{4}}{\tfrac{5}{4}}=-\tfrac{1}{5}.

Passo 5

Discussão sobre o tipo de convergência (mini-aula): como |r|<1, além de convergente, a série converge absolutamente. Para ver isso, considere a série dos valores absolutos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n}}{4^{n}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n}},
que é uma geométrica com razão 1/4 e soma
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n}}=\frac{\tfrac{1}{4}}{1-\tfrac{1}{4}}=\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{3}{4}}=\tfrac{1}{3}<\infty.
Como a série dos módulos converge, a série original converge absolutamente (e portanto converge). Observação: poderia também aplicar o teste da razão ou o teste da série geométrica diretamente — todos levam à mesma conclusão.

Passo 6

Resumo final e ânimo: a série é uma geométrica com razão -\tfrac{1}{4}, converge absolutamente e sua soma é -\tfrac{1}{5}. Boa — tá dominado! Se quiser, faço outro exemplo parecido para treinar.

Resposta

Converge absolutamente (logo converge).
Soma: -\tfrac{1}{5}

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