Considerando as séries dadas, estude a sua convergência ou divergência. Quando possível calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right)
O que o problema pede:
  • Determinar se a série converge ou diverge.
  • Quando possível, calcular a soma da série.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Cada termo da série é a soma de dois termos: \dfrac{5}{2^{n}} e \dfrac{1}{3^{n}}.
  • A série pode ser vista como a soma de duas séries separadas:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{2^{n}} \qquad\text{e}\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}.

Passo 2

Primeiro fato útil (linearidade das séries): se duas séries \sum a_n e \sum b_n convergem, então a série \sum (a_n+b_n) converge e
\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n+\sum_{n=1}^{\infty}b_n.
Portanto, basta estudar a convergência e soma das duas séries separadas \sum \dfrac{5}{2^n} e \sum \dfrac{1}{3^n}.

Passo 3

Reconhecer o tipo de série: cada uma das séries separadas é uma série geométrica. Explico a fórmula fundamental das séries geométricas para você levar pra prova.
Definição e condição de convergência de série geométrica:
  • A série geométrica básica é \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}.
  • Essa série converge se, e somente se, |r|<1.
  • Para |r|<1, a soma é dada por
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \frac{r}{1-r}.
Derivação rápida (para gravar na cabeça): os somatórios parciais são
S_N=\sum_{n=1}^{N} r^{n}=r\frac{1-r^{N}}{1-r}\quad(\text{para }r\neq1).
Se |r|<1, então r^{N}\to0 quando N\to\infty, portanto
\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{r}{1-r}.
Essa é a fórmula que vamos usar.

Passo 4

Aplicando ao primeiro somatório \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{5}{2^{n}}.
Escrever como constante vezes uma geométrica:
\frac{5}{2^{n}}=5\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
Aqui o motivo de convergência: \left|\dfrac{1}{2}\right|<1, então a série geométrica converge.
Usando a fórmula \sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\dfrac{r}{1-r}, temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{2^{n}} =5\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} =5\cdot\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}.
Calcule passo a passo:
\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}=1,
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\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{2^{n}}=5\cdot 1=5.

Passo 5

Aplicando ao segundo somatório \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^{n}}.
Escrever como geométrica:
\frac{1}{3^{n}}=\left(\frac{1}{3}\right)^{n},
e como \left|\dfrac{1}{3}\right|<1, a série converge. Pela mesma fórmula:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}=\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}.
Calcule:
\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Somando os resultados (pela linearidade das séries do Passo 2):
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{2^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}} =5+\frac{1}{2}.
Calcule a soma final:
5+\frac{1}{2}=\frac{11}{2}=5{,}5.
Conclusão final: ambas as séries geométricas convergem, portanto a série dada converge e sua soma é \dfrac{11}{2}.

Resposta

A série converge.
\dfrac{11}{2}

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