Use o teste da razão ou da raiz para determinar a convergência ou divergência das seguintes séries:
.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se ela converge ou diverge usando o teste da razão ou o teste da raiz. Vou aplicar o teste da razão.
Dados relevantes: o termo geral é . O objetivo é decidir convergência ou divergência da soma dos
.
Dados relevantes: o termo geral é
Passo 2
Apresentando o teste da razão de forma clara (aqui é a “aula” do teste). Seja uma série com termos positivos
com
. Defina
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
(incluindo ), a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui
é o termo geral da série; o teste compara o crescimento do termo seguinte com o termo atual. Se a razão tende a algo menor que
, os termos diminuem geometricamente e a série converge; se a razão tende a algo maior que
, os termos crescem (ou não diminuem suficientemente) e a série diverge.
Passo 3
Calcular explicitamente a razão entre termos consecutivos para a nossa série. Começo definindo o termo geral:
Agora
Simplificando o fator fatorial e as potências de
,
Passo 4
Calcular o limite da razão:
Como o numerador
cresce sem limite e o denominador é constante, esse limite é infinito:
Pelo teste da razão, como
(na verdade
), a série diverge.
Passo 5
Comentário didático e intuição (para a prova): o resultado mostra que o fator fatorial
cresce muito mais rápido que a potência fixa
. A razão
passa de
quando
, então a sequência de termos
começa a crescer (não tende a zero). Como condição necessária para a convergência de uma série é que os termos vão a zero, e aqui os termos não vão a zero, isso também garante a divergência. Em resumo: crescimento do fatorial vence a base fixa
, levando à divergência.
Resposta
A série diverge.