Use o teste da razão ou da raiz para determinar a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{1000^{n}}.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{1000^{n}}
e pede para determinar se ela converge ou diverge usando o teste da razão ou o teste da raiz. Vou aplicar o teste da razão.
Dados relevantes: o termo geral é a_n=\dfrac{n!}{1000^{n}}. O objetivo é decidir convergência ou divergência da soma dos a_n.

Passo 2

Apresentando o teste da razão de forma clara (aqui é a “aula” do teste). Seja uma série com termos positivos \sum a_n com a_n>0. Defina
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1 (incluindo L=\infty), a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui a_n é o termo geral da série; o teste compara o crescimento do termo seguinte com o termo atual. Se a razão tende a algo menor que 1, os termos diminuem geometricamente e a série converge; se a razão tende a algo maior que 1, os termos crescem (ou não diminuem suficientemente) e a série diverge.

Passo 3

Calcular explicitamente a razão entre termos consecutivos para a nossa série. Começo definindo o termo geral:
a_n=\frac{n!}{1000^{n}}.
Agora
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)!}{1000^{\,n+1}}}{\dfrac{n!}{1000^{\,n}}} = \frac{(n+1)!}{n!}\cdot\frac{1000^{\,n}}{1000^{\,n+1}}.
Simplificando o fator fatorial e as potências de 1000,
\frac{a_{n+1}}{a_n}=(n+1)\cdot\frac{1}{1000}=\frac{n+1}{1000}.

Passo 4

Calcular o limite da razão:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{1000}.
Como o numerador n+1 cresce sem limite e o denominador é constante, esse limite é infinito:
L=\infty.
Pelo teste da razão, como L>1 (na verdade L=\infty), a série diverge.

Passo 5

Comentário didático e intuição (para a prova): o resultado mostra que o fator fatorial (n!) cresce muito mais rápido que a potência fixa 1000^{n}. A razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n+1}{1000} passa de 1 quando n\ge 1000, então a sequência de termos a_n começa a crescer (não tende a zero). Como condição necessária para a convergência de uma série é que os termos vão a zero, e aqui os termos não vão a zero, isso também garante a divergência. Em resumo: crescimento do fatorial vence a base fixa 1000, levando à divergência.

Resposta

A série diverge.

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