Considerando as séries dadas, estude a sua convergência ou divergência. Quando possível calcule sua soma. \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{(-1)^{n}}{5^{n}}\right)
Passo 1
O enunciado pede que eu estude a convergência ou divergência da série e, quando possível, calcule sua soma. A série dada é
Portanto, uma série geométrica converge exatamente quando |r|<1 e sua soma é \dfrac{a}{1-r}.
Passo 3
Identificando a primeira parcela da soma:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}
pode ser vista como uma série geométrica com a=1 e r=\dfrac{1}{2} se reescrevermos \dfrac{1}{2^{n}} = 1\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}.
Aqui |r|=\dfrac{1}{2}<1, logo a série converge. Aplicando a fórmula da soma geométrica:
(Pequena verificação mental: os termos são 1/2,1/4,1/8,\dots e somam 1.)
Passo 4
Identificando a segunda parcela da soma:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{5^{n}}.
Observe que isso é uma série geométrica com razão r=-\dfrac{1}{5}, pois \dfrac{(-1)^{n}}{5^{n}}=\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{n}. Aqui |r|=\dfrac{1}{5}<1, então essa série também converge. Sua soma é
Como cada uma das duas séries convergentes foi obtida separando o termo geral da série original, podemos usar a linearidade da soma (a soma de séries convergentes é convergente e sua soma é a soma das somas). Logo
Portanto a soma das séries de módulos é 1+\tfrac{1}{4}=\tfrac{5}{4}<\infty. Isso mostra que a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência (conclusão coerente com o passo anterior).
Resposta
A série converge absolutamente. \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{(-1)^{n}}{5^{n}}\right)=\frac{5}{6}