Considerando as séries dadas, estude a sua convergência ou divergência. Quando possível calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{(-1)^{n}}{5^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu estude a convergência ou divergência da série e, quando possível, calcule sua soma. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{(-1)^{n}}{5^{n}}\right).
Informações relevantes que temos:
  • O termo geral é a soma de dois termos: \dfrac{1}{2^{n}} e \dfrac{(-1)^{n}}{5^{n}}.
  • Preciso decidir se a série converge ou diverge e, se convergir, calcular a soma.

Passo 2

Vamos lembrar (e derivar) a fórmula da soma de uma série geométrica, porque ambos os termos parecem ser geométricos.
Definição e fato útil: uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n},
onde a é o coeficiente inicial multiplicando r^{n} e r é a razão. Considerando a soma parcial até N,
S_N=\sum_{n=1}^{N} ar^{n}=a\frac{1-r^{N}}{1-r}\quad\text{se }r\neq1.
Explicando: multiplica-se a soma parcial por (1-r) e nota-se o cancelamento telescópico:
(1-r)S_N = a(1-r^{N}).
Se |r|<1, então r^{N}\to0 quando N\to\infty, e tomando limite
\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n} = \lim_{N\to\infty} S_N = a\frac{1}{1-r}.
Portanto, uma série geométrica converge exatamente quando |r|<1 e sua soma é \dfrac{a}{1-r}.

Passo 3

Identificando a primeira parcela da soma:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}
pode ser vista como uma série geométrica com a=1 e r=\dfrac{1}{2} se reescrevermos \dfrac{1}{2^{n}} = 1\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}.
Aqui |r|=\dfrac{1}{2}<1, logo a série converge. Aplicando a fórmula da soma geométrica:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{1-\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{\tfrac{1}{2}} = 1.
(Pequena verificação mental: os termos são 1/2,1/4,1/8,\dots e somam 1.)

Passo 4

Identificando a segunda parcela da soma:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{5^{n}}.
Observe que isso é uma série geométrica com razão r=-\dfrac{1}{5}, pois \dfrac{(-1)^{n}}{5^{n}}=\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{n}. Aqui |r|=\dfrac{1}{5}<1, então essa série também converge. Sua soma é
\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{n} = \frac{-\tfrac{1}{5}}{1-(-\tfrac{1}{5})} = \frac{-\tfrac{1}{5}}{1+\tfrac{1}{5}} = \frac{-\tfrac{1}{5}}{\tfrac{6}{5}} = -\frac{1}{6}.

Passo 5

Como cada uma das duas séries convergentes foi obtida separando o termo geral da série original, podemos usar a linearidade da soma (a soma de séries convergentes é convergente e sua soma é a soma das somas). Logo
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{(-1)^{n}}{5^{n}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{5^{n}} = 1 + \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{5}{6}.

Passo 6

É bom verificar também a convergência absoluta (porque é uma propriedade mais forte): calculemos a série dos valores absolutos dos termos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1}{2^{n}}+\frac{(-1)^{n}}{5^{n}}\right| \le \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{5^{n}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5^{n}}.
Já temos \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n}}=1. E
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5^{n}}=\frac{\tfrac{1}{5}}{1-\tfrac{1}{5}}=\frac{\tfrac{1}{5}}{\tfrac{4}{5}}=\frac{1}{4}.
Portanto a soma das séries de módulos é 1+\tfrac{1}{4}=\tfrac{5}{4}<\infty. Isso mostra que a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência (conclusão coerente com o passo anterior).

Resposta

A série converge absolutamente.
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{(-1)^{n}}{5^{n}}\right)=\frac{5}{6}

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