Use o teste da razão ou da raiz para determinar a convergência ou divergência das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência ou divergência da série
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O termo geral é
. - Todos os termos
são positivos para . - Foi pedido para usar o teste da razão ou da raiz (aceitáveis ambos). Vou identificar o que é necessário a seguir.
Passo 2
Vou usar o teste da razão — motivo: quando aparecem fatoriais e potências, a razão entre termos consecutivos costuma simplificar muito bem. Antes de calcular, lembro o enunciado do teste da razão e por que ele funciona, de forma bem didática.
Teste da razão (enunciado e significado):
- Seja
uma sequência de termos positivos e considere
quando esse limite existir (ou for
). Então:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge (os termos não vão a zero; o somatório não pode convergir). - Se
, o teste é inconclusivo.
Explicação rápida e intuitiva: se
tende a um número menor que
, então a partir de algum ponto os termos decrescem geometricamente (como uma progressão geométrica com razão
), o que garante convergência. Se tende a um número maior que
, os termos crescem (ou não tendem a zero), logo a soma não pode convergir.
Passo 3
Calculo a razão entre termos consecutivos para
. Primeiro escrevo
e a razão:
Agora simplifico passo a passo:
Factorizando
,
Passo 4
Agora calculo o limite da razão quando
:
Conhecemos o limite clássico que define a base dos logaritmos naturais:
onde
(constante de Euler). Para justificar rapidamente esse valor sem apelar a memorizações demais, posso tomar logaritmo e usar uma expansão:
Para
pequeno,
. Aplicando com
obtemos
que tende para
quando
. Assim o logaritmo do limite é
, e portanto o próprio limite é
.
Logo
Passo 5
Aplico o teste da razão: como
, a regra do teste diz que a série diverge. Intuitivamente, se a razão entre termos consecutivos tende a um número maior que
, os termos
não tendem a zero — na realidade crescem rapidamente — e a soma não pode convergir.
Resposta
A série diverge.