Use o teste da razão ou da raiz para determinar a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{n^{n}}{n!}.
  • Todos os termos a_n são positivos para n\ge 1.
  • Foi pedido para usar o teste da razão ou da raiz (aceitáveis ambos). Vou identificar o que é necessário a seguir.

Passo 2

Vou usar o teste da razão — motivo: quando aparecem fatoriais e potências, a razão entre termos consecutivos costuma simplificar muito bem. Antes de calcular, lembro o enunciado do teste da razão e por que ele funciona, de forma bem didática.
Teste da razão (enunciado e significado):
  • Seja (a_n) uma sequência de termos positivos e considere
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n},
quando esse limite existir (ou for +\infty). Então:
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge (os termos não vão a zero; o somatório não pode convergir).
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Explicação rápida e intuitiva: se \dfrac{a_{n+1}}{a_n} tende a um número menor que 1, então a partir de algum ponto os termos decrescem geometricamente (como uma progressão geométrica com razão <1), o que garante convergência. Se tende a um número maior que 1, os termos crescem (ou não tendem a zero), logo a soma não pode convergir.

Passo 3

Calculo a razão entre termos consecutivos para a_n=\dfrac{n^{n}}{n!}. Primeiro escrevo a_{n+1} e a razão:
a_{n+1}=\frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}, \qquad \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{n^{n}}{n!}}.
Agora simplifico passo a passo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^{n}} = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)\,n^{n}} = \frac{(n+1)^{\,n}}{n^{n}}.
Factorizando n^n,
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.

Passo 4

Agora calculo o limite da razão quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.
Conhecemos o limite clássico que define a base dos logaritmos naturais:
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e,
onde e\approx 2{,}71828\ldots (constante de Euler). Para justificar rapidamente esse valor sem apelar a memorizações demais, posso tomar logaritmo e usar uma expansão:
\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right).
Para x pequeno, \ln(1+x)=x-\dfrac{x^{2}}{2}+O(x^{3}). Aplicando com x=\dfrac{1}{n} obtemos
n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\right)=1-\frac{1}{2n}+O\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right),
que tende para 1 quando n\to\infty. Assim o logaritmo do limite é 1, e portanto o próprio limite é e^{1}=e.
Logo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=e.

Passo 5

Aplico o teste da razão: como L=e>1, a regra do teste diz que a série diverge. Intuitivamente, se a razão entre termos consecutivos tende a um número maior que 1, os termos a_n não tendem a zero — na realidade crescem rapidamente — e a soma não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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