Considerando as séries dadas, estude a sua convergência ou divergência. Quando possível calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O termo geral da série é a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.
  • A pergunta principal é: a série converge ou diverge? Se convergisse, calcular a soma (sempre que possível).

Passo 2

Lembrete importante (teste necessário para convergência):
  • Uma condição necessária para que uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge é que o termo geral tenda a zero:
\text{se }\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ converge, então } \lim_{n\to\infty} a_n = 0.ã
Esse resultado é frequentemente chamado de “teste do termo geral” ou “teste da condição necessária”. Se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0, então a série diverge imediatamente.

Passo 3

Vamos calcular o limite do termo geral
a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.
É conhecido que esse tipo de expressão converge para a constante matemática e. Vou mostrar de forma didática por que isso ocorre.
Defina b_n=\ln(a_n). Então
b_n = \ln\!\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)=n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right).
Reescreve-se b_n como uma razão conveniente:
b_n = \frac{\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}.
Introduzindo x=\frac{1}{n}, vemos que quando n\to\infty temos x\to 0^+ e
b_n = \frac{\ln(1+x)}{x}\quad\text{com }x\to 0^+.
É um limite clássico que
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
Uma forma de ver isso é usar a expansão em série de Taylor (ou o limite fundamental): \ln(1+x)=x-\tfrac{x^2}{2}+\cdots, então a razão tende a 1. Outra forma é aplicar L’Hospital ao quociente, mas a ideia é a mesma: o limite vale 1.
Portanto
\lim_{n\to\infty} b_n = 1.
Como b_n=\ln(a_n), ao aplicar a função exponencial obtemos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} e^{b_n} = e^{1} = e.

Passo 4

Interpretação do resultado: o termo geral satisfaz
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e\approx 2,71828\ldots
Em particular, esse limite NÃO é zero.

Passo 5

Aplicando o teste do termo geral (Passo 2): como \lim_{n\to\infty} a_n = e \neq 0, a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}
não pode convergir. Logo, a série diverge.

Passo 6

Comentário adicional (mais forte): como a_n\to e>0, existe N tal que para todo n\ge N vale a_n>\tfrac{e}{2}. Então a soma das parcelas a partir de N é maior que a soma de infinitos termos iguais a \tfrac{e}{2}, o que diverge para +\infty. Assim, os somatórios parciais crescem sem limite e a série diverge para +\infty.

Resposta

A série diverge (os termos não tendem a zero; \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e\neq0).

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