Considerando as séries dadas, estude a sua convergência ou divergência. Quando possível calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência ou divergência da série
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O termo geral da série é
. - A pergunta principal é: a série converge ou diverge? Se convergisse, calcular a soma (sempre que possível).
Passo 2
Lembrete importante (teste necessário para convergência):
- Uma condição necessária para que uma série
converge é que o termo geral tenda a zero:
Esse resultado é frequentemente chamado de “teste do termo geral” ou “teste da condição necessária”. Se
, então a série diverge imediatamente.
Passo 3
Vamos calcular o limite do termo geral
É conhecido que esse tipo de expressão converge para a constante matemática
. Vou mostrar de forma didática por que isso ocorre.
Defina
. Então
Reescreve-se
como uma razão conveniente:
Introduzindo
, vemos que quando
temos
e
É um limite clássico que
Uma forma de ver isso é usar a expansão em série de Taylor (ou o limite fundamental):
, então a razão tende a
. Outra forma é aplicar L’Hospital ao quociente, mas a ideia é a mesma: o limite vale
.
Portanto
Como
, ao aplicar a função exponencial obtemos
Passo 4
Interpretação do resultado: o termo geral satisfaz
Em particular, esse limite NÃO é zero.
Passo 5
Aplicando o teste do termo geral (Passo 2): como
, a série
não pode convergir. Logo, a série diverge.
Passo 6
Comentário adicional (mais forte): como
, existe
tal que para todo
vale
. Então a soma das parcelas a partir de
é maior que a soma de infinitos termos iguais a
, o que diverge para
. Assim, os somatórios parciais crescem sem limite e a série diverge para
.
Resposta
A série diverge (os termos não tendem a zero;
).