Seja uma variável X sim N(mu, 9) observada em dada população. Com precisão de 90 %, assinale a alternativa que contém o erro máximo que cometemos ao estimar a verdadeira média dessa população com base em uma amostra de tamanho n=25.
a) 1,099.
b) 0,099.
c) 2,909.
d) 2,970.
e) 0,990.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável que segue uma distribuição normal, ou seja, X sim N(mu, 9). Isso significa que o desvio padrão é raiz9 = 3. Queremos estimar a média verdadeira dessa população ( mu) com 90% de confiança, usando uma amostra de tamanho n = 25. A pergunta quer saber qual é o erro máximo que podemos esperar nessa estimativa. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de intervalo de confiança e erro máximo (ou margem de erro).

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão indica o quanto a média da amostra ( barX) pode variar em relação à média verdadeira ( mu). A fórmula para o erro padrão quando conhecemos o desvio padrão da população é:
Erro Padrão = sigmaraizn ã
Onde:
  • sigma é o desvio padrão da população (que é 3),
  • n é o tamanho da amostra (que é 25).
Vamos calcular:
Erro Padrão = 3raiz25 = 35 = 0,6 ã

Passo 3

Agora, vamos determinar o z-score correspondente ao nível de confiança de 90%. O z-score nos diz quantos desvios padrões precisamos considerar para cobrir a área desejada na distribuição normal.
Como queremos 90% de confiança, isso significa que temos 5% em cada extremidade da distribuição (porque 100% - 90% = 10%, dividido igualmente nas duas caudas). O z-score para 90% de confiança é aproximadamente 1,645.

Passo 4

Com o erro padrão e o z-score, podemos calcular a margem de erro usando a fórmula:
Mar>=m de Erro = z times Erro Padrão ã
Substituindo os valores que calculamos:
Mar>=m de Erro = 1,645 times 0,6 approx 0,990

Resposta

O erro máximo é 0,990, correspondente à alternativa e).

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