Considerando o sistema em
$$
\left\{\begin{array}{ccc}
3 x+9 y+\left(k^{2}-1\right) z & = & k+1 \\
x+3 y+\left(1-k^{2}\right) z & = & -k-1 \\
3 x+11 y+\left(1-k^{2}\right) z & = & -k-1
\end{array}\right.
$$
Encontre a matriz linha reduzida à forma escada equivalente à matriz do ítem anterior.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas ( x, y, z) e queremos encontrar a matriz aumentada desse sistema e, em seguida, reduzi-la para a forma escada reduzida usando operações de linha. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente eliminação de Gauss.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações. Assim, temos:
3 & 9 & k^2-1 & | & k+1 1 & 3 & 1-k^2 & | & -k-1 3 & 11 & 1-k^2 & | & -k-1

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular (escada) usando operações de linha: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar múltiplos de uma linha a outra.

Passo 4

Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1 para simplificar. Podemos dividir a primeira linha por 3:
1 & 3 & k^2-13 & | & k+13 1 & 3 & 1-k^2 & | & -k-1 3 & 11 & 1-k^2 & | & -k-1

Passo 5

Agora, queremos zerar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraímos a primeira linha da segunda linha:
L2 = L2 - L1
  • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
L3 = L3 - 3L1
Aplicando essas operações:
1 & 3 & k^2-13 & | & k+13 0 & 0 & 1 - k^2 - k^2-13 & | & -k-1 - k+13 0 & 2 & 1 - k^2 - 3 cdot k^2-13 & | & -k-1 - 3 cdot k+13
Simplificando as operações:
Para L2:
1 - k^2 - k^2-13 = 3(1 - k^2) - (k^2-1)3 = 3 - 3k^2 - k^2 + 13 = 4 - 4k^23 = 4(1 - k^2)3
-k-1 - k+13 = -3k -3 - k -13 = -4k -43 = -4(k +1)3
Para L3:
1 - k^2 - 3 cdot k^2-13 = 1 - k^2 - (k^2-1) = 1 - k^2 - k^2 +1 = 2 - 2k^2 = 2(1 - k^2)
-k-1 - 3 cdot k+13 = -k -1 - (k +1) = -2k -2 = -2(k +1)
Então, a matriz fica:
1 & 3 & k^2-13 & | & k+13 0 & 0 & 4(1 - k^2)3 & | & -4(k +1)3 0 & 2 & 2(1 - k^2) & | & -2(k +1)

Passo 6

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por 43 para tornar o coeficiente de z igual a 1:
L2 = 34 L2
Assim:
1 & 3 & k^2-13 & | & k+13 0 & 0 & 1 & | & - (k +1) 0 & 2 & 2(1 - k^2) & | & -2(k +1)

Passo 7

Agora, queremos zerar o 2(1 - k^2) na terceira linha usando a segunda linha. Fazemos:
L3 = L3 - 2(1 - k^2)L2
Aplicando a operação:
2(1 - k^2) - 2(1 - k^2) cdot 1 = 0
E para o termo constante:
-2(k +1) - 2(1 - k^2)(- (k +1)) = -2(k +1) + 2(1 - k^2)(k +1)
Simplificando, a terceira linha fica:
0 2 0 | -2(k +1) + 2(k +1)(1 - k^2)
Isso simplifica para:
0 2 0 | -2(k +1) + 2(k +1) - 2k^2(k +1) = -2k^2(k +1)
Portanto, a matriz atualizada é:
1 & 3 & k^2-13 & | & k+13 0 & 0 & 1 & | & - (k +1) 0 & 2 & 0 & | & -2k^2(k +1)

Passo 8

Agora, vamos ordenar a matriz para que os pivôs fiquem em uma posição escalonada. Podemos trocar a segunda e terceira linhas:
1 & 3 & k^2-13 & | & k+13 0 & 2 & 0 & | & -2k^2(k +1) 0 & 0 & 1 & | & - (k +1)

Passo 9

Em seguida, vamos zerar o 3 na primeira linha, segunda coluna, usando a segunda linha. Para isso:
L1 = L1 - 32 L2
Aplicando a operação:
Para a coluna y:
3 - 32 cdot 2 = 0
Para a coluna z:
k^2-13 - 32 cdot 0 = k^2-13
Para o termo constante:
k+13 - 32 cdot (-2k^2(k +1)) = k+13 + 3k^2(k +1)
Então, a matriz fica:
1 & 0 & k^2-13 & | & k+13 + 3k^2(k +1) 0 & 2 & 0 & | & -2k^2(k +1) 0 & 0 & 1 & | & - (k +1)

Passo 10

Por fim, vamos simplificar a primeira linha para deixar a matriz na forma escada reduzida. Podemos dividir a segunda linha por 2 para ter o pivô igual a 1:
L2 = 12 L2
Então, a matriz final é:
1 & 0 & k^2-13 & | & k+13 + 3k^2(k +1) 0 & 1 & 0 & | & -k^2(k +1) 0 & 0 & 1 & | & - (k +1)

Resposta

A matriz linha reduzida à forma escada é:
1 & 0 & k^2-13 & | & k+13 + 3k^2(k +1) 0 & 1 & 0 & | & -k^2(k +1) 0 & 0 & 1 & | & - (k +1)

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