Considerando o sistema em
$$
\left\{\begin{array}{ccc}
3 x+9 y+\left(k^{2}-1\right) z & = & k+1 \\
x+3 y+\left(1-k^{2}\right) z & = & -k-1 \\
3 x+11 y+\left(1-k^{2}\right) z & = & -k-1
\end{array}\right.
$$
Encontre a matriz linha reduzida à forma escada equivalente à matriz do ítem anterior.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas (, , ) e queremos encontrar a matriz aumentada desse sistema e, em seguida, reduzi-la para a forma escada reduzida usando operações de linha. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente eliminação de Gauss.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações. Assim, temos:
Passo 3
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular (escada) usando operações de linha: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar múltiplos de uma linha a outra.
Passo 4
Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1 para simplificar. Podemos dividir a primeira linha por 3:
Por fim, vamos simplificar a primeira linha para deixar a matriz na forma escada reduzida. Podemos dividir a segunda linha por 2 para ter o pivô igual a 1: