( ) Determine o centro e o raio da superfície esférica

Passo 1

O enunciado dá a equação geral de uma esfera
x^2+y^2+z^2-8y+2z+8=0
e pede seu centro e seu raio. Vamos usar o método de completar quadrados, reagru­pando termos em x, y e z.

Passo 2

Agrupamos os termos em cada variável e isolamos a constante:
x^2 ;+;(y^2-8y);+;(z^2+2z);+;8 ;=;0

Passo 3

Completar quadrado em cada grupo:
Para x não há termo linear, então
x^2=(x-0)^2
Para y^2-8y:
y^2-8y = (y-4)^2-16
Para z^2+2z:
z^2+2z = (z+1)^2-1
Substituindo na equação:
(x-0)^2 + l((y-4)^2-16r) + l((z+1)^2-1r) +8 =0

Passo 4

Simplificamos os termos constantes -16-1+8=-9:
(x-0)^2 + (y-4)^2 + (z+1)^2 -9 =0 Longrightarrow (x-0)^2 + (y-4)^2 + (z+1)^2 =9
Isto está na forma padrão (x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=r^2.

Resposta

Centro: (0,4,-1)
Raio: 3

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