Considerando o sistema em
$$
\left\{\begin{array}{ccc}
3 x+9 y+\left(k^{2}-1\right) z & = & k+1 \\
x+3 y+\left(1-k^{2}\right) z & = & -k-1 \\
3 x+11 y+\left(1-k^{2}\right) z & = & -k-1
\end{array}\right.
$$
Para quais valores de , esse sistema tem infinitas soluções?

Passo 1

Opa! Então o exercício diz que temos um sistema de 3 equações e 3 incógnitas [(x,y,z)) que depende de um parâmetro :
O conteúdo aqui é Álgebra Linear: a condição para infinitas soluções de um sistema é que a matriz dos coeficientes seja singular (determinante zero) e que o sistema continue consistente (sem contradição). Vamos precisar
  1. montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante;
  2. achar para quais , o sistema não fica impossível.

Passo 2

Monta a matriz dos coeficientes
A = 3 & 9 & k^2-1 1 & 3 & 1-k^2 3 & 11 & 1-k^2
e calcula det(A). Fazendo a expansão (ou qualquer método que você prefira), chega-se a
det(A)=8,(k^2-1)=8,(k-1)(k+1)
Teoria rápida: se det(A)neq0, o sistema tem solução única; para infinitas soluções precisamos de det(A)=0implies k-1=0 ou k+1=0, isto é k=1 ou k=-1.

Passo 3

Testa k=1. Substituindo em cada equação:
  1. 3x+9y+(1^2-1)z=1+1;Rightarrow;3x+9y+0cdot z=2;
  2. x+3y+(1-1^2)z=-1-1;Rightarrow;x+3y+0cdot z=-2;
    se você multiplicar a eq.~(2) por 3 dá 3x+9y=-6, mas a eq.~(1) quer 3x+9y=2. Aí dá 2=-6, contradição. Logo, para k=1 o sistema é impossível (nenhuma solução).

Passo 4

Testa k=-1. Substituindo:
  1. 3x+9y+((-1)^2-1)z= -1+1;Rightarrow;3x+9y+0cdot z=0,
  2. x+3y+(1-(-1)^2)z=-(-1)-1;Rightarrow;x+3y+0cdot z=0,
  3. 3x+11y+(1-(-1)^2)z=-(-1)-1;Rightarrow;3x+11y+0cdot z=0
    Das duas primeiras vem x+3y=0implies x=-3y.
  • Na eq. (1) isso dá 3(-3y)+9y=0implies0=0 (tudo certo).
  • Na eq. (3) dá 3(-3y)+11y=2y=0implies y=0implies x=0.
Repare que z não aparece mais em nenhuma equação (coeficiente zero), então z fica livre (parâmetro). Conclusão: existe um família de soluções do tipo
(x,y,z)=(0,0,t), tinR,
ou seja, infinitas soluções.

Resposta

O sistema tem infinitas soluções somente para
boxedk=-1

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