Considerando o sistema de coordenadas no espaço, responda;
(f) Descreva e esboce no espaço a superfície determinada por x+y=2.

Passo 1

O enunciado pede para descrever e esboçar no espaço a superfície dada pela equação
x + y = 2
O conteúdo é geometria analítica em R^3: reconhecer que uma equação linear em x,y (sem z) define um plano. Para resolver, vamos usar conceitos de plano em 3D, vetor normal, interceptos e direções de paralelismo.

Passo 2

Note que a equação
x + y = 2
não envolve z. Isso significa que, para cada ponto (x,y) que satisfaça x+y=2, qualquer valor de z é permitido. Logo, a superfície é um plano paralelo ao eixo z.

Passo 3

Para entender a posição desse plano, encontramos os interceptos com os eixos coordenados no plano z=0:
  • Se y=0, então x=2, ponto (2,0,0).
  • Se x=0, então y=2, ponto (0,2,0).
    Como z é livre, as retas que passam por (2,0,0) e (0,2,0) e são paralelas ao eixo z estão contidas no plano.

Passo 4

O vetor normal ao plano é dado pelos coeficientes de x e y na equação:
n = (1,1,0)
Isso confirma que o plano é inclinado em relação aos eixos x e y, mas é vertical em direção a z. Equivalente em forma vetorial:
(x,y,z)inR^3mid x+y=2 = (2,0,0)+s(-1,1,0)+t(0,0,1)mid s,tinR

Passo 5

Esboço (descrição): desenhe os eixos x,y,z. No plano z=0, trace a reta que une (2,0,0) a (0,2,0). A seguir, levante dessa reta planos paralelos ao eixo z, formando uma “folha” vertical. Este é o plano x+y=2.

Resposta

A superfície x+y=2 é um plano vertical perpendicular ao plano xy, com vetor normal (1,1,0), que intercepta os eixos x e y em (2,0,0) e (0,2,0) e se estende paralelamente ao eixo z.

Exercícios relacionados