Demonstre as propriedades de produto vetorial:
(e) u cdot(v times w)=(u times v) cdot w

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade da produto escalar de vec u com o produto vetorial de vec v e vec w em comparação com o produto escalar de vec w com o produto vetorial de vec u e vec v. Para isso, vamos usar a definição componente a componente de times e de cdot.

Passo 2

Sejam
vec u=(u1,u2,u3), vec v=(v1,v2,v3), vec w=(w1,w2,w3)
Lembrando que
vec atimesvec b =l(a2b3 - a3b2,;a3b1 - a1b3,;a1b2 - a2b1r)
e
vec acdotvec b = a1b1 + a2b2 + a3b3

Passo 3

Calculamos primeiro vec ucdot(vec vtimesvec w). Temos
vec vtimesvec w =l(v2w3 - v3w2,;v3w1 - v1w3,;v1w2 - v2w1r),
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vec ucdot(vec vtimesvec w) = u1(v2w3 - v3w2) + u2(v3w1 - v1w3) + u3(v1w2 - v2w1)

Passo 4

Agora calculamos (vec utimesvec v)cdotvec w. Primeiro
vec utimesvec v =l(u2v3 - u3v2,;u3v1 - u1v3,;u1v2 - u2v1r),
e daí
(vec utimesvec v)cdotvec w = (u2v3 - u3v2)w1 + (u3v1 - u1v3)w2 + (u1v2 - u2v1)w3

Passo 5

Se expandirmos cada soma, percebemos que ambos os resultados se reduzem aos mesmos seis termos:
u1v2w3,; -u1v3w2,; u2v3w1,; -u2v1w3,; u3v1w2,; -u3v2w1
Portanto não há diferença entre vec ucdot(vec vtimesvec w) e (vec utimesvec v)cdotvec w.

Resposta

vec ucdot(vec vtimesvec w) = (vec utimesvec v)cdotvec w

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