Mostre que:
(d) u times(v+w)+v times(w+u)+w times(u+v)=0

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade vetorial
utimes(v+w) ;+;vtimes(w+u);+;wtimes(u+v) ;=;0,
que envolve produto vetorial. Vamos usar a propriedade distributiva do produto vetorial e a anticomutatividade atimesb=-,btimesa.

Passo 2

Aplicamos a distributividade em cada termo:
utimes(v+w) &= utimesv + utimesw, vtimes(w+u) &= vtimesw + vtimesu, wtimes(u+v) &= wtimesu + wtimesv
Somando tudo, obtemos
utimesv + utimesw + vtimesw + vtimesu + wtimesu + wtimesv

Passo 3

Reagrupamos termos que são pares anticomutativos:
(utimesv + vtimesu) + (utimesw + wtimesu) + (vtimesw + wtimesv)

Passo 4

Usamos que atimesb=-,btimesa, então
utimesv + vtimesu = utimesv - utimesv = 0,
e de modo análogo os outros dois pares somam zero. Portanto toda a soma é zero.

Resposta

utimes(v+w) + vtimes(w+u) + wtimes(u+v) = 0

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