Dado o número complexo z=1-i:
Calcule z^5 usando a forma polar.

Passo 1

O enunciado pede para calcular (1 - i)^5 usando a forma polar. O conteúdo aqui é transformar o número complexo em forma r(costheta + isintheta) e depois aplicar o Teorema de De Moivre, que diz que
l(r(costheta + isintheta)r)^n = r^nl(cos(ntheta) + isin(ntheta)r)

Passo 2

Vamos encontrar o módulo r e o argumento theta de z=1-i.
O módulo é
r = |z| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2
O argumento theta satisfaz
tantheta = Im(z)Re(z) = -11 = -1,
e como 1-i está no quarto quadrante, theta = -pi4.

Passo 3

Escrevendo z em forma polar:
z = 1 - i = raiz2l(cosl(-tfracpi4r) + isinl(-tfracpi4r)r)

Passo 4

Pelo Teorema de De Moivre, elevando à quinta potência,
z^5 = l(raiz2r)^5 l(cosl(5cdot(-tfracpi4)r) + isinl(5cdot(-tfracpi4)r)r)
Calculando l(raiz2r)^5 = 2^5/2 = 4raiz2 e
5cdotl(-tfracpi4r) = -tfrac5pi4
Podemos ajustar o ângulo somando 2pi:
-tfrac5pi4 + 2pi = tfrac3pi4,
logo
z^5 = 4raiz2l(costfrac3pi4 + isintfrac3pi4r)

Passo 5

Agora voltamos à forma a+bi. Sabendo que costfrac3pi4 = -tfracraiz22 e sintfrac3pi4 = tfracraiz22, temos
z^5 = 4raiz2l(-tfracraiz22 + i,tfracraiz22r) = 4l(-1 + ir) = -4 + 4i

Resposta

z^5 = -4 + 4i

Exercícios relacionados