Demonstre que a substituição \theta(t)=e^{r t} leva a equação (1) à equação característica
r^{2}+\omega^{2}=0
sendo \omega^{2}=\mathrm{g} / \mathrm{l}.

Passo 1

O enunciado parte da equação de pequeno ângulo para o pêndulo
\theta''(t)+\frac{g}{l}\,\theta(t)=0,
onde definimos \omega^2=\frac{g}{l}. Queremos mostrar que, ao usar a substituição \theta(t)=e^{r t}, obtemos a equação característica
r^2+\omega^2=0.

Passo 2

Proponha a solução do tipo exponencial
\theta(t)=e^{r t},
com r constante a determinar. Essa forma é habitual para equações lineares com coeficientes constantes.

Passo 3

Calcule as derivadas de \theta(t):
\theta'(t)=r\,e^{r t},
\theta''(t)=r^2\,e^{r t}.

Passo 4

Substitua \theta(t) e \theta''(t) na equação original:
\theta''(t)+\frac{g}{l}\,\theta(t) = r^2\,e^{r t}+\frac{g}{l}\,e^{r t} =0.

Passo 5

Fatore e^{r t}, que nunca é zero, e use \omega^2=\frac{g}{l}:
e^{r t}\bigl(r^2+\frac{g}{l}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad r^2+\omega^2=0.

Resposta

r^2+\omega^2=0.

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