Mostre que as soluções da equação característica (2) são as raízes r_{1}=i \omega e r_{2}=-i \omega.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação característica
r^{2} + \omega^{2} = 0
que aparece em problemas de EDOs lineares com coeficientes constantes, por exemplo em oscilações harmônicas. Vamos usar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara) para achar as raízes.

Passo 2

Na equação
r^{2} + \omega^{2} = 0
os coeficientes são a=1, b=0 e c=\omega^{2}. A fórmula de Bhaskara diz que
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.
Substituindo a, b e c, temos
r = \frac{0 \pm \sqrt{0^{2} - 4\cdot1\cdot\omega^{2}}}{2\cdot1} = \frac{\pm \sqrt{-4\,\omega^{2}}}{2}.

Passo 3

Calculamos o discriminante:
\sqrt{-4\,\omega^{2}} = \sqrt{-1}\,\sqrt{4}\,\sqrt{\omega^{2}} = 2\,i\,\omega.
Logo as raízes são
r = \frac{\pm (2\,i\,\omega)}{2} = \pm i\,\omega.

Resposta

As soluções da equação característica são
r_{1} = i\,\omega \quad\text{e}\quad r_{2} = -\,i\,\omega.

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