Considerando o
:
Qual é o tipo do conjunto de todos os ternos unitários?
Qual é o tipo do conjunto de todos os ternos unitários?
Passo 1
O enunciado pede para classificar o conjunto de todos os ternos unitários em
, ou seja
Queremos determinar se
é aberto, fechado, limitado, compacto, descrever seu interior etc.
Passo 2
Definimos a aplicação
Como
é contínua e
é fechado, o conjunto
é fechado em
.
Passo 3
Todo ponto de
satisfaz
, logo
. Isso mostra que
é limitado, pois está contido na bola de raio
centrada na origem.
Passo 4
Pelo Teorema de Heine–Borel em
, qualquer subconjunto que seja fechado e limitado é compacto. Assim,
é compacto.
Passo 5
O interior de
em
é vazio, pois não existe bola aberta de
contida em
. Consequentemente,
não é aberto. Além disso,
não é convexo (por exemplo, o segmento entre
e
sai de
).
Passo 6
Geométricamente,
é a esfera unitária de dimensão
(denotada
), ou seja, uma superfície diferenciável de dimensão
sem bordo.
Resposta
O conjunto dos ternos unitários em
é a esfera unitária
Esse conjunto é
- fechado e limitado (logo compacto em
), - não aberto (interior vazio),
- não convexo,
- uma superfície diferenciável de dimensão
.