Considerando o R^3:
Qual é o tipo do conjunto de todos os ternos unitários?

Passo 1

O enunciado pede para classificar o conjunto de todos os ternos unitários em R^3, ou seja
S = (x,y,z)in R^3 mid x^2 + y^2 + z^2 = 1
Queremos determinar se S é aberto, fechado, limitado, compacto, descrever seu interior etc.

Passo 2

Definimos a aplicação
fcolon R^3 to R, f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2
Como f é contínua e 1subsetR é fechado, o conjunto
S = f^-1(1)
é fechado em R^3.

Passo 3

Todo ponto de S satisfaz raizx^2+y^2+z^2=1, logo | (x,y,z)|=1. Isso mostra que S é limitado, pois está contido na bola de raio 1 centrada na origem.

Passo 4

Pelo Teorema de Heine–Borel em R^3, qualquer subconjunto que seja fechado e limitado é compacto. Assim, S é compacto.

Passo 5

O interior de S em R^3 é vazio, pois não existe bola aberta de R^3 contida em S. Consequentemente, S não é aberto. Além disso, S não é convexo (por exemplo, o segmento entre (1,0,0) e (-1,0,0) sai de S).

Passo 6

Geométricamente, S é a esfera unitária de dimensão 2 (denotada S^2), ou seja, uma superfície diferenciável de dimensão 2 sem bordo.

Resposta

O conjunto dos ternos unitários em R^3 é a esfera unitária
S^2 = (x,y,z)inR^3 mid x^2 + y^2 + z^2 = 1
Esse conjunto é
  • fechado e limitado (logo compacto em R^3),
  • não aberto (interior vazio),
  • não convexo,
  • uma superfície diferenciável de dimensão 2.

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