Qual é:
A relação (geométrica) entre o terno (
) e o plano de equação
? Justifique
A relação (geométrica) entre o terno (
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a relação geométrica entre o vetor
e o plano dado por
Para resolver, vamos lembrar o conceito de vetor normal a um plano e o produto escalar.
Passo 2
Definimos o plano
como o conjunto de pontos
que satisfazem
Escolha dois pontos quaisquer
e
em
. Então ambos satisfazem a equação do plano:
Passo 3
Considere o vetor diferença que liga
a
:
Subtraindo as duas equações do plano obtemos
Mas o lado esquerdo é exatamente o produto escalar
Isto mostra que o vetor
(a,b,c) é perpendicular a qualquer vetor contido no plano.
Passo 4
Como
(a,b,c) é ortogonal a todos os vetores de direção do plano, concluímos que
(a,b,c) é um vetor normal ao plano
a,x + b,y + c,z = d .
Resposta
O vetor
(a,b,c) é normal (perpendicular) ao plano de equação
a,x + b,y + c,z = d .