Qual é:
A relação (geométrica) entre o terno ( a, b, c ) e o plano de equação a x+b y+c z=d ? Justifique

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a relação geométrica entre o vetor (a,b,c) e o plano dado por
a,x + b,y + c,z = d
Para resolver, vamos lembrar o conceito de vetor normal a um plano e o produto escalar.

Passo 2

Definimos o plano P como o conjunto de pontos X=(x,y,z) que satisfazem
a,x + b,y + c,z = d
Escolha dois pontos quaisquer X1=(x1,y1,z1) e X2=(x2,y2,z2) em P. Então ambos satisfazem a equação do plano:
a,x1 + b,y1 + c,z1 = d, a,x2 + b,y2 + c,z2 = d

Passo 3

Considere o vetor diferença que liga X1 a X2:
X1X2 = (x2 - x1,; y2 - y1,; z2 - z1)
Subtraindo as duas equações do plano obtemos
a,(x2 - x1) + b,(y2 - y1) + c,(z2 - z1) = 0
Mas o lado esquerdo é exatamente o produto escalar
(a,b,c)cdot X1X2 = 0
Isto mostra que o vetor (a,b,c) é perpendicular a qualquer vetor contido no plano.

Passo 4

Como (a,b,c) é ortogonal a todos os vetores de direção do plano, concluímos que (a,b,c) é um vetor normal ao plano a,x + b,y + c,z = d.

Resposta

O vetor (a,b,c) é normal (perpendicular) ao plano de equação a,x + b,y + c,z = d.

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