É correto dizer que:
R^2 subset R^3 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se vale a inclusão
R^2 subset R^3.
O conteúdo envolvido é a definição de produto cartesiano (n-tupla) e a relação de subconjunto entre conjuntos.

Passo 2

Definimos
R^2 = (x,y)mid xinR,,yinR
e
R^3 = (x,y,z)mid xinR,,yinR,,zinR.
Cada elemento de R^2 é um par ordenado e cada elemento de R^3 é um triplo ordenado.

Passo 3

Para que R^2subsetR^3 fosse verdade, todo par (x,y) teria de ser também um triplo (x,y,z) para algum z. Mas nenhum par tem “três coordenadas” — não existe z que transforme (x,y) em elemento de R^3 sem mudar o número de entradas.

Passo 4

No entanto, há uma maneira natural de identificar R^2 com um subespaço de R^3: a aplicação injetora
varphicolon R^2 to R^3, varphi(x,y) = (x,y,0)
A imagem de varphi é
(x,y,0)mid x,yinR,
que de fato é um subespaço de R^3 isomorfo a R^2. Mas isso não torna o conjunto “bruto” R^2 contido em R^3.

Resposta

Não. Estritamente falando R^2notsubsetR^3 porque elementos de R^2 são pares e de R^3 são triplos. Contudo, há uma inclusão canônica via (x,y)mapsto(x,y,0).

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