Considerando todos os anagramas que podemos formar da palavra BOTAFOGO, determine a probabilidade de termos:
b) As consoantes em ordem alfabética.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Da palavra BOTAFOGO (8 letras, com 3 O’s repetidos), queremos a probabilidade de, num anagrama sorteado ao acaso, as consoantes aparecerem em ordem alfabética.”
Conteúdo: permutações com repetição e probabilidade básica.
Você vai precisar calcular o total de anagramas da palavra e, dentre eles, quantos têm B, F, G, T na ordem alfabética.

Passo 2

Primeiro, o total de anagramas de BOTAFOGO.
Temos 8 letras, mas o O se repete 3 vezes. A fórmula de permutação com repetição é
Total ;=; 8!3!
Calma que não é bicho de sete cabeças: você divide o fatorial de todas as letras pelo fatorial de cada letra repetida.
Então
8! = 40320, 3! = 6 Longrightarrow Total = 403206 = 6720

Passo 3

Agora, quantos anagramas têm as consoantes (B, F, G, T) em ordem alfabética?
Método 1 (mais intuitivo):
  1. Escolhe 4 posições entre as 8 para as consoantes: binom84;times;1;times;4!3! = 70 times 4 = 280 .
  2. Nessas posições, você só pode colocar B, F, G, T na única ordem permitida (alfabética).
  3. Nas 4 posições restantes, vão as 4 vogais (A, O, O, O), que se arranjam de Total4! = 672024 = 280 jeitos (porque os O’s são iguais).
    Então o número de casos favoráveis é
Método 2 (mais direto):
Se você não se importa com as posições exatas, basta notar que, dentre todas as formas de ordenar as 4 consoantes, só 1 está em ordem alfabética. Como há ordens possíveis, a chance delas saírem em ordem é .
Logo, o número de favoráveis é

Passo 4

Basta aplicar a definição de probabilidade:
P = casos favoráveiscasos totais = 2806720 á
Dá pra simplificar:
2806720 = 124

Resposta

A probabilidade de as consoantes ficarem em ordem alfabética é

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