Considerando todos os anagramas que podemos formar da palavra BOTAFOGO, determine a probabilidade de termos:
b) As consoantes em ordem alfabética.
b) As consoantes em ordem alfabética.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Da palavra BOTAFOGO (8 letras, com 3 O’s repetidos), queremos a probabilidade de, num anagrama sorteado ao acaso, as consoantes aparecerem em ordem alfabética.”
Conteúdo: permutações com repetição e probabilidade básica.
Você vai precisar calcular o total de anagramas da palavra e, dentre eles, quantos têm B, F, G, T na ordem alfabética.
Conteúdo: permutações com repetição e probabilidade básica.
Você vai precisar calcular o total de anagramas da palavra e, dentre eles, quantos têm B, F, G, T na ordem alfabética.
Passo 2
Primeiro, o total de anagramas de BOTAFOGO.
Temos 8 letras, mas o O se repete 3 vezes. A fórmula de permutação com repetição é
Temos 8 letras, mas o O se repete 3 vezes. A fórmula de permutação com repetição é
Calma que não é bicho de sete cabeças: você divide o fatorial de todas as letras pelo fatorial de cada letra repetida.
Então
Então
Passo 3
Agora, quantos anagramas têm as consoantes (B, F, G, T) em ordem alfabética?
Método 1 (mais intuitivo):
Método 1 (mais intuitivo):
- Escolhe 4 posições entre as 8 para as consoantes:
. - Nessas posições, você só pode colocar B, F, G, T na única ordem permitida (alfabética).
- Nas 4 posições restantes, vão as 4 vogais (A, O, O, O), que se arranjam de
jeitos (porque os O’s são iguais).
Então o número de casos favoráveis é
Método 2 (mais direto):
Se você não se importa com as posições exatas, basta notar que, dentre todas as formas de ordenar as 4 consoantes, só 1 está em ordem alfabética. Como há ordens possíveis, a chance delas saírem em ordem é
.
Logo, o número de favoráveis é
Se você não se importa com as posições exatas, basta notar que, dentre todas as formas de ordenar as 4 consoantes, só 1 está em ordem alfabética. Como há
Logo, o número de favoráveis é
Passo 4
Basta aplicar a definição de probabilidade:
Dá pra simplificar:
Resposta
A probabilidade de as consoantes ficarem em ordem alfabética é