Seja A=1 / 4,1 / 2,1,2,4,8 e B=1 / 3,1,3,9,27, substituindo aleatoriamente um elemento de A em x e um elemento de B em y, determine a probabilidade de log y x>0, supondo que log y x exista.

Passo 1

O exercício diz: temos
e
.
Você escolhe aleatoriamente um e um . Queremos a probabilidade de
, supondo que esse logaritmo exista.
Conteúdo que vamos usar: probabilidade clássica (contagem de casos) e propriedades de logaritmos (sinal de dependendo de ).

Passo 2

Primeiro, lembre que só existe se e .
Depois, a regra básica de sinal é:
  • Se , o logaritmo é crescente e exatamente quando .
  • Se , o logaritmo é decrescente e exatamente quando .
Vou explicar rapidinho: para , subir o acima de 1 faz o log positivo; já para entre 0 e 1, a função inverte o sentido, então valores de menores que 1 dão log positivo.

Passo 3

  1. Excluímos 6 times 4 = 24 porque aí 9 + 2 = 11 não existe.
  2. Sobram em os valores , ou seja 4 possibilidades.
  3. Como tem 6 elementos, o total de pares possíveis (com log existindo) é
  4. Agora contamos os pares que dão :
    • Caso : isso vale para (3 opções). Aí queremos , ou seja (3 opções).
      Favoráveis neste bloco: .
    • Caso : isso vale para (1 opção). Aí queremos , ou seja (2 opções).
      Favoráveis neste bloco: .
      Somando, total de casos favoráveis é

Passo 4

A probabilidade pedida é
nº de casos favoráveisnº total de casos ;=; 1124 ºáº

Resposta

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