Considerando a transformação T: R^3 R^3, definida por
T(x, y, z)=(x+y+z, x-y, 2 x+z)
Responda se T é injetiva e justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T:R^3toR^3, T(x,y,z)=(x+y+z,;x-y,;2x+z),
e pede para verificar se T é injetiva. O conteúdo é transformações lineares em álgebra vetorial, e vamos usar a condição de injetividade equivalente a ker T=0.

Passo 2

Recordando que uma transformação linear T é injetiva se, e somente se, a única solução de
T(x,y,z)=(0,0,0)
for (x,y,z)=(0,0,0). Assim, precisamos resolver o sistema associado ao núcleo de T.

Passo 3

Escrevendo
Da segunda equação vem , que é exatamente a terceira equação. Logo
e a solução geral é
Isso mostra que é um subespaço de dimensão 1.

Passo 4

Como ker T contém vetores não nulos, T não é injetiva (só seria injetiva se ker T=(0,0,0)).

Resposta

T não é injetiva, pois ker T=x(1,1,-2)mid xinRneq(0,0,0).

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