Considerando a transformação
, definida por
Responda se
é injetiva e justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede para verificar se
é injetiva. O conteúdo é transformações lineares em álgebra vetorial, e vamos usar a condição de injetividade equivalente a
.
Passo 2
Recordando que uma transformação linear
é injetiva se, e somente se, a única solução de
for
. Assim, precisamos resolver o sistema associado ao núcleo de
.
Passo 3
Escrevendo
Da segunda equação vem dá
, que é exatamente a terceira equação. Logo
e a solução geral é
Isso mostra que
é um subespaço de dimensão 1.
Passo 4
Como
contém vetores não nulos,
não é injetiva (só seria injetiva se
).