faça o que se pede:
Encontre uma base para a imagem dessa transformação.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede uma base para a imagem de .
Conteúdo: imagem (coluna space) de uma transformação linear e base de subespaço.
Passo 2
Sabemos que a imagem de é gerada pelas colunas da matriz de em relação às bases canônicas de e . Basta calcular
Logo a imagem de está contida em .
Passo 3
Para verificar que esses três vetores são independentes, considere a combinação linear nula
Das componentes obtemos o sistema
Da primeira equação alpha=-beta. Da segunda gamma=-beta. Substituindo na terceira: -beta + (-beta)=0 implica beta=0, e segue alpha=gamma=0. Portanto são linearmente independentes.