Considerando a transformação T: R^3 R^4, definida por
T(x, y, z)=(x+y, y+z, x+z, x+y+z)
faça o que se pede:
Encontre uma base para a imagem dessa transformação.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^4, T(x,y,z) = (x+y,;y+z,;x+z,;x+y+z)
e pede uma base para a imagem de T.
Conteúdo: imagem (coluna space) de uma transformação linear e base de subespaço.

Passo 2

Sabemos que a imagem de T é gerada pelas colunas da matriz de T em relação às bases canônicas de R^3 e R^4. Basta calcular
T(e1) = T(1,0,0) = (1,0,1,1),
T(e2) = T(0,1,0) = (1,1,0,1),
T(e3) = T(0,0,1) = (0,1,1,1)
Logo a imagem de T está contida em span(1,0,1,1),,(1,1,0,1),,(0,1,1,1).

Passo 3

Para verificar que esses três vetores são independentes, considere a combinação linear nula
alpha,(1,0,1,1) + beta,(1,1,0,1) + gamma,(0,1,1,1) = (0,0,0,0)
Das componentes obtemos o sistema
alpha + beta = 0, beta + gamma = 0, alpha + gamma = 0, alpha + beta + gamma = 0
Da primeira equação alpha=-beta. Da segunda gamma=-beta. Substituindo na terceira: -beta + (-beta)=0 implica beta=0, e segue alpha=gamma=0. Portanto são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para Im(T) é
, (1,0,1,1),;(1,1,0,1),;(0,1,1,1)

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