Considerando a transformação T: R^3 R^4, definida por
T(x, y, z)=(x+y, y+z, x+z, x+y+z)
faça o que se pede:
Responda se T é injetiva e justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T:R^3toR^4 por
T(x,y,z) = (x+y,;y+z,;x+z,;x+y+z)
e pede para verificar se T é injetiva.
Para isso, vamos usar o fato de que uma transformação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo contém apenas o vetor zero.

Passo 2

Precisamos resolver
T(x,y,z) = (0,0,0,0)
Isso fornece o sistema de equações lineares
x + y = 0, y + z = 0, x + z = 0, x + y + z = 0

Passo 3

Das três primeiras equações temos:
x = -y, z = -y,
e então a terceira dá
x + z = -y + (-y) = -2y = 0 ;Longrightarrow; y = 0
Logo x = -y = 0 e z = -y = 0. A quarta equação x+y+z=0 já está satisfeita por essa solução.

Passo 4

Concluímos que a única solução de T(x,y,z)=(0,0,0,0) é (x,y,z)=(0,0,0). Portanto ker T=(0,0,0), o que implica que T é injetiva.

Resposta

T é injetiva.

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