faça o que se pede:
Responda se é injetiva e justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear por
e pede para verificar se é injetiva.
Para isso, vamos usar o fato de que uma transformação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo contém apenas o vetor zero.
Passo 2
Precisamos resolver
Isso fornece o sistema de equações lineares
Passo 3
Das três primeiras equações temos:
x = -y, z = -y,
e então a terceira dá
x + z = -y + (-y) = -2y = 0 ;Longrightarrow; y = 0
Logo x = -y = 0 e z = -y = 0. A quarta equação x+y+z=0 já está satisfeita por essa solução.
Passo 4
Concluímos que a única solução de T(x,y,z)=(0,0,0,0) é (x,y,z)=(0,0,0). Portanto ker T=(0,0,0), o que implica que T é injetiva.