Dados três pontos A, B, C sobre uma mesma reta, considere M e N os pontos médios dos segmentos A B e B C. Demonstre que M N é igual à semissoma ou à semi-diferença dos segmentos A B e B C.

Passo 1

O enunciado dá três pontos colineares A,B,C e define M e N como os pontos médios de AB e BC, respectivamente. O que precisamos usar é a álgebra vetorial em uma reta: representar pontos por vetores e usar a propriedade do ponto médio e a soma de vetores para obter o vetor MN.

Passo 2

Escolhemos um sistema de vetores na reta de modo que os pontos A,B,C tenham coordenadas-vetor vec a,vec b,vec c. Como M é o ponto médio de AB, vale
vec m = vec a + vec b2,
e como N é o ponto médio de BC, vale
vec n = vec b + vec c2

Passo 3

O vetor que vai de M a N é
MN = vec n - vec m = vec b + vec c2 ;-;vec a + vec b2 = vec c - vec a2 = AC2

Passo 4

Sabemos que, em uma reta,
AC = AB + BC
Logo
MN = AB + BC2,
que é a semissoma de AB e BC quando esses vetores têm o mesmo sentido.
Se, porém, C ficar entre A e B, então na orientação escolhida BC tem sentido oposto a AB e
AC = AB - BC,
de modo que
MN = AB - BC2,
que é a semi-diferença de AB e BC.

Resposta

MN = dfracAB + BC2 (semissoma) ou MN = dfracAB - BC2 (semi-diferença), dependendo da ordenação de A,B,C.

Exercícios relacionados