Considerando a transformação T: R^3 R^4, definida por
T(x, y, z)=(x+y, y+z, x+z, x+y+z)
faça o que se pede:
Escreva com suas palavras o que diz o teorema do núcleo e da imagem e responda se esse teorema se verifica no caso da transformação T, definida acima.

Passo 1

O enunciado apresenta a transformação linear
Tcolon R^3to R^4, T(x,y,z)=(x+y,;y+z,;x+z,;x+y+z),
e nos pede para enunciar, com nossas próprias palavras, o Teorema do Núcleo e da Imagem (Teorema da Dimensão) e verificar se ele vale para T.

Passo 2

Enunciado do Teorema do Núcleo e da Imagem
Em linguagem informal, esse teorema diz que, para qualquer transformação linear
Lcolon Vto W entre espaços vetoriais de dimensão finita, a soma da dimensão do núcleo (nullidade) com a dimensão da imagem (posto) é igual à dimensão do domínio.
Em símbolos:
dim(ker L)+dim(Im L)=dim(V)

Passo 3

**Determinar o núcleo de
Das três primeiras equações, obtemos . Substituindo em fica , logo e, por consequência, .
Portanto

Passo 4

Determinar a imagem de e seu posto
Basta ver as imagens dos vetores da base canônica:
Chamando esses vetores de , resolvemos
.
Escrevendo coordenada a coordenada, chega-se a , ou seja, são linearmente independentes. Como são três vetores em ,

Passo 5

Verificação do Teorema da Dimensão
O domínio é R^3, cuja dimensão é 3. Calculamos
dim(ker T)+dim(Im T)=0+3=3
e de fato coincide com dim(R^3)=3.

Resposta

O Teorema do Núcleo e da Imagem declara que dim(ker T)+dim(Im T)=dim(domínio)í. No caso de T temos dim(ker T)=0 e dim(Im T)=3, cuja soma é 3, igual à dimensão de R^3. Portanto, o teorema se verifica.

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