Considerando a transformação
, definida por
faça o que se pede:
Escreva com suas palavras o que diz o teorema do núcleo e da imagem e responda se esse teorema se verifica no caso da transformação
, definida acima.
Escreva com suas palavras o que diz o teorema do núcleo e da imagem e responda se esse teorema se verifica no caso da transformação
Passo 1
O enunciado apresenta a transformação linear
e nos pede para enunciar, com nossas próprias palavras, o Teorema do Núcleo e da Imagem (Teorema da Dimensão) e verificar se ele vale para
.
Passo 2
Enunciado do Teorema do Núcleo e da Imagem
Em linguagem informal, esse teorema diz que, para qualquer transformação linear
entre espaços vetoriais de dimensão finita, a soma da dimensão do núcleo (nullidade) com a dimensão da imagem (posto) é igual à dimensão do domínio.
Em símbolos:
Em linguagem informal, esse teorema diz que, para qualquer transformação linear
Em símbolos:
Passo 3
**Determinar o núcleo de
Das três primeiras equações, obtemos . Substituindo em
fica
, logo
e, por consequência,
.
Portanto
Passo 4
Determinar a imagem de
e seu posto
Basta ver as imagens dos vetores da base canônica:
Basta ver as imagens dos vetores da base canônica:
Chamando esses vetores de
, resolvemos
.
Escrevendo coordenada a coordenada, chega-se a , ou seja, são linearmente independentes. Como são três vetores em
,
Escrevendo coordenada a coordenada, chega-se a
Passo 5
Verificação do Teorema da Dimensão
O domínio é , cuja dimensão é 3. Calculamos
O domínio é
e de fato coincide com
.
Resposta
O Teorema do Núcleo e da Imagem declara que
. No caso de
temos
e
, cuja soma é
, igual à dimensão de
. Portanto, o teorema se verifica.