Se T: U V é uma transformação linear entre dois k-espaços vetoriais e v1, v2, ldots, vn in U são tais que T(v1), T(v2), ldots, T(vn) são linearmente dependentes (l.i.), prove que v1, v2, ldots, vn também são l.i.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma transformação linear
Tcolon U to V
entre espaços vetoriais sobre o mesmo corpo k, e vetores v1,dots,vnin U tais que os seus imagens T(v1),dots,T(vn) são linearmente independentes. Queremos mostrar que então v1,dots,vn também são linearmente independentes.
Conteúdo usado: definição de independência linear e propriedade de linearidade de T.

Passo 2

Lembrando a definição: o conjunto v1,dots,vnsubset U é linearmente independente se, sempre que existirem escalares a1,dots,anin k tais que
a1v1 + a2v2 + cdots + anvn = 0,
segue-se que todos a1=a2=cdots=an=0.

Passo 3

Para provar que v1,dots,vn são independentes, suponha que existam a1,dots,anin k com
a1v1 + a2v2 + cdots + anvn = 0
Como T é linear, aplicamos T a essa combinação e obtemos:
Tl(a1v1 + cdots + anvnr) = a1,T(v1) + cdots + an,T(vn) = T(0) = 0

Passo 4

Mas por hipótese T(v1),dots,T(vn) é linearmente independente em V. Logo, da relação
a1,T(v1) + cdots + an,T(vn) = 0
segue-se que
a1=a2=cdots=an=0

Passo 5

Concluímos que qualquer combinação linear de v1,dots,vn que dê zero força todos os coeficientes a serem zero. Portanto v1,dots,vn é linearmente independente.

Resposta

Os vetores v1,v2,dots,vn são linearmente independentes.

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