Se
é uma transformação linear entre dois
-espaços vetoriais e
são tais que
são linearmente dependentes (l.i.), prove que
também são l.i.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma transformação linear
entre espaços vetoriais sobre o mesmo corpo
, e vetores
tais que os seus imagens
são linearmente independentes. Queremos mostrar que então
também são linearmente independentes.
Conteúdo usado: definição de independência linear e propriedade de linearidade de
.
Passo 2
Lembrando a definição: o conjunto
é linearmente independente se, sempre que existirem escalares
tais que
segue-se que todos
.
Passo 3
Para provar que
são independentes, suponha que existam
com
Como
é linear, aplicamos
a essa combinação e obtemos:
Passo 4
Mas por hipótese
é linearmente independente em
. Logo, da relação
segue-se que
Passo 5
Concluímos que qualquer combinação linear de
que dê zero força todos os coeficientes a serem zero. Portanto
é linearmente independente.
Resposta
Os vetores
são linearmente independentes.