faça o que se pede:
Responda se é sobrejetiva e justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
e pergunta se é sobrejetiva (isto é, se ). Vamos usar conceitos de transformação linear: representá-la por matriz, calcular seu posto (rank) e comparar com a dimensão do contradomínio.
Passo 2
Como é linear, podemos escrever
O posto de é a dimensão da imagem de .
Passo 3
Para achar
Resolva
Isso dá o sistema
Dessa última equação e das duas primeiras segue .
Passo 4
Como rank(A)=3 e o contradomínio R^4 tem dimensão 4, a imagem de T é um subespaço de dimensão 3 próprio de R^4. Portanto
T(R^3)neqR^4,
ou seja, T não é sobrejetiva.
Resposta
T não é sobrejetiva, pois seu posto é 3, menor que dim(R^4)=4.