Considerando a transformação T: R^3 R^4, definida por
T(x, y, z)=(x+y, y+z, x+z, x+y+z)
faça o que se pede:
Responda se T é sobrejetiva e justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
Tcolon R^3 to R^4, T(x,y,z) = (x+y,;y+z,;x+z,;x+y+z),
e pergunta se T é sobrejetiva (isto é, se T(R^3)=R^4). Vamos usar conceitos de transformação linear: representá-la por matriz, calcular seu posto (rank) e comparar com a dimensão do contradomínio.

Passo 2

Como é linear, podemos escrever
O posto de é a dimensão da imagem de .

Passo 3

Para achar
Resolva
Isso dá o sistema
Dessa última equação e das duas primeiras segue .

Passo 4

Como rank(A)=3 e o contradomínio R^4 tem dimensão 4, a imagem de T é um subespaço de dimensão 3 próprio de R^4. Portanto
T(R^3)neqR^4,
ou seja, T não é sobrejetiva.

Resposta

T não é sobrejetiva, pois seu posto é 3, menor que dim(R^4)=4.

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