Considerando as transformações lineares T: R^2 R^2, em que T(x, y)=(2 x+y,-x+4 y) e S: R^2 R^2, com S(x, y)=(x, x+y), determine as leis de formação das funções:
3. S circ T

Passo 1

O enunciado pede a composição de duas transformações lineares T e S, ou seja, encontrar a lei de formação de
Scirc T:R^2toR^2
Aqui o conteúdo é composição de aplicações lineares: primeiro aplicamos T ao vetor (x,y) e depois aplicamos S ao resultado.

Passo 2

Vamos chamar de (u,v) a imagem de (x,y) por T. Pelas definições temos
(u,v)=T(x,y)=(2x+y,,-x+4y)

Passo 3

Agora aplicamos S em (u,v). A definição de S é
S(u,v)=(u,;u+v)
Substituindo (u,v)=(2x+y,,-x+4y), obtemos
Sl(T(x,y)r)=l(u,;u+vr)=l(2x+y,;(2x+y)+(-x+4y)r)

Passo 4

Basta simplificar a segunda coordenada:
(2x+y)+(-x+4y)=2x+y-x+4y=(2x-x)+(y+4y)=x+5y
Logo a composição é
(Scirc T)(x,y)=(2x+y,;x+5y)

Resposta

(Scirc T)(x,y)=(2x+y,;x+5y)

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