Seja a transformação linear T: R^3 R^3, com T(x, y, z)=(-x, y cos 60^circ+z sen 60^circ,-y sen 60^circ+ z cos 60^circ ). Determine:
2. T(1,2,3), multiplicando a matriz P pelo vetor v=(1,2,3), disposto em forma de matriz coluna.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T:R^3toR^3, T(x,y,z)=l(-x,;ycos60^circ+zsin60^circ,;-,ysin60^circ+zcos60^circr)
e pede o valor de T(1,2,3) usando a matriz P associada a T multiplicada pelo vetor coluna vec v=(1,2,3)^T. Para isso vamos usar cos60^circ=tfrac12 e sin60^circ=tfracraiz32.

Passo 2

Montamos a matriz P tomando as imagens dos vetores da base canônica e1,e2,e3.
T(e1)=T(1,0,0)=(-1,0,0), T(e2)=T(0,1,0)=l(0,tfrac12,-tfracraiz32r), T(e3)=T(0,0,1)=l(0,tfracraiz32,tfrac12r)
Assim
P = -1 & 0 & 0 0 & tfrac12 & tfracraiz32 0 & -tfracraiz32 & tfrac12

Passo 3

Agora calculamos
P,(1,2,3)^T = -1 & 0 & 0 0 & tfrac12 & tfracraiz32 0 & -tfracraiz32 & tfrac12 123 = -1cdot1 2cdottfrac12+3cdottfracraiz32 2cdotl(-tfracraiz32r)+3cdottfrac12 = -1 1+tfrac3raiz32 -raiz3+tfrac32

Resposta

T(1,2,3)= -1[6pt] 1+tfrac3raiz32[6pt] -raiz3+tfrac32 = -1[3pt] tfrac2+3raiz32[3pt] tfrac3-2raiz32 ]

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