Determine uma matriz para as seguintes transformações lineares (considere base canônica):
4. que gire o vetor de em torno do eixo x , e depois reduza o vetor obtido à metade do tamanho, mantendo apenas direção;
Passo 1
O enunciado pede a matriz da transformação linear em que, primeiro, gira qualquer vetor em torno do eixo por um ângulo (não especificado, então mantemos como parâmetro) e depois reduz seu comprimento pela metade (homotetia de razão ). Vamos usar base canônica e compor as duas matrizes: a rotação em torno de e a homotetia centrada na origem.
Passo 2
A matriz de rotação em torno do eixo por um ângulo (na base canônica) é
Passo 3
A matriz da homotetia de razão 1/2 (que reduz todos os componentes à metade) é
A transformação total é primeiro girar (aplicar Rx(theta)) e em seguida reduzir o tamanho (aplicar H1/2). Em termos de matrizes, como atuamos primeiro com Rx(theta) e depois com H1/2, a matriz composta é
A ;=; H1/2,Rx(theta)
Como H1/2 é escalar, ela comuta com Rx(theta) e podemos simplesmente multiplicar cada entrada de Rx(theta) por 1/2.
Passo 5
Portanto, a matriz procurada, em função de theta, é