Determine uma matriz para as seguintes transformações lineares (considere base canônica):
4. que gire o vetor de R^3 em torno do eixo x , e depois reduza o vetor obtido à metade do tamanho, mantendo apenas direção;

Passo 1

O enunciado pede a matriz da transformação linear em R^3 que, primeiro, gira qualquer vetor em torno do eixo x por um ângulo theta (não especificado, então mantemos como parâmetro) e depois reduz seu comprimento pela metade (homotetia de razão 1/2). Vamos usar base canônica e compor as duas matrizes: a rotação em torno de x e a homotetia centrada na origem.

Passo 2

A matriz de rotação em torno do eixo x por um ângulo theta (na base canônica) é
Rx(theta) ;=; 1 & 0 & 0 0 & costheta & -sintheta 0 & sintheta & costheta

Passo 3

A matriz da homotetia de razão 1/2 (que reduz todos os componentes à metade) é
H1/2 ;=; 12 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = tfrac12 & 0 & 0 0 & tfrac12 & 0 0 & 0 & tfrac12

Passo 4

A transformação total é primeiro girar (aplicar Rx(theta)) e em seguida reduzir o tamanho (aplicar H1/2). Em termos de matrizes, como atuamos primeiro com Rx(theta) e depois com H1/2, a matriz composta é
A ;=; H1/2,Rx(theta)
Como H1/2 é escalar, ela comuta com Rx(theta) e podemos simplesmente multiplicar cada entrada de Rx(theta) por 1/2.

Passo 5

Portanto, a matriz procurada, em função de theta, é
A ;=; 12 1 & 0 & 0 0 & costheta & -sintheta 0 & sintheta & costheta = tfrac12 & 0 & 0 0 & tfrac12costheta & -tfrac12sintheta 0 & tfrac12sintheta & tfrac12costheta

Resposta

A = tfrac12 & 0 & 0 0 & tfrac12costheta & -tfrac12sintheta 0 & tfrac12sintheta & tfrac12costheta

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