Considerando as transformações lineares T: R^2 R^2, em que T(x, y)=(2 x+y,-x+4 y) e S: R^2 R^2, com S(x, y)=(x, x+y), determine as leis de formação das funções:
4. (T circ S)^-1

Passo 1

O enunciado pede a inversa da composição (Tcirc S), onde
S(x,y)=(x,;x+y) e T(u,v)=(2u+v,;-u+4v).
O conteúdo é inversão de transformações lineares em R^2.

Passo 2

Primeiro vamos achar a lei de formação de Tcirc S. Aplicando S e em seguida T:
S(x,y)=(x,;x+y). Então
Tl(S(x,y)r) = Tl(x,;x+yr) = l(2x+(x+y),;-,x+4(x+y)r)
Simplificando cada componente:
2x+(x+y)=3x+y, -,x+4(x+y)=3x+4y
Logo
(Tcirc S)(x,y) = l(3x+y,;3x+4yr)

Passo 3

Agora representamos pela matriz
pois .
O determinante de é

Passo 4

Como det(M)=9neq0, a inversa existe e é dada por
M^-1 = 1det(M) 4 & -1 -3 & 3 = 19 4 & -1 -3 & 3

Passo 5

Portanto, para ,

Resposta

(Tcirc S)^-1(x,y) = gl(4x - y9,;-3x + 3y9gr)

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