Verifique se as funções a seguir são ou não transformações lineares. Justifique.
2. T: R^2 R^3, com T(x, y)=(x^2+y^2, x+y, 0);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = l(x^2+y^2,;x+y,;0r)
é uma transformação linear. O conteúdo é a definição de transformação linear entre espaços vetoriais: precisamos checar additividade e homogeneidade.

Passo 2

Recordando a definição, T é linear se, para todo u,vinR^2 e todo alphainR, valem
  1. T(u+v) = T(u) + T(v),
  2. T(alpha,u) = alpha,T(u).

Passo 3

Vamos testar a propriedade de homogeneidade. Tome v=(x,y) e alphainR. Então
Tl(alpha(x,y)r) = T(alpha x,alpha y) = l((alpha x)^2+(alpha y)^2,;alpha x+alpha y,;0r)
=l(alpha^2(x^2+y^2),;alpha(x+y),;0r),
enquanto
alpha,T(x,y) = alphal(x^2+y^2,;x+y,;0r) = l(alpha,(x^2+y^2),;alpha(x+y),;0r)
Como em geral
alpha^2(x^2+y^2)neq alpha(x^2+y^2)(por exemplo, se (alphaneq0,1)),
temos
Tl(alpha(x,y)r)neq alpha,T(x,y),
logo falha a homogeneidade.

Resposta

A função T não é transformação linear, pois não satisfaz a propriedade de homogeneidade:
Tl(alpha(x,y)r) neq alpha,T(x,y)

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