Encontre a matriz de
em relação às bases canônicas das transformações lineares abaixo. Determine o núcleo e descreva-os geometricamente.
2.
;
2.
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear
definida por
Precisamos achar a matriz de
nas bases canônicas de
e
e, em seguida, determinar o núcleo (
) e descrevê-lo geometricamente.
Passo 2
Para obter a matriz de
em relação às bases canônicas, calculamos as imagens dos vetores da base de
:
Logo, a matriz de
na base canônica é
Passo 3
O núcleo de
é definido por
ou seja, pela equação
Passo 4
Resolvendo
obtemos
. Definindo parâmetros livres
e
, qualquer vetor do núcleo pode ser escrito como
com
.
Passo 5
Geometricamente,
é o plano que passa pela origem em
definido por
ou seja, o plano gerado pelos vetores
e
.
Resposta
A matriz de
em relação às bases canônicas é
o núcleo é
e geometricamente trata-se do plano em
definido por
, gerado pelos vetores
e
.