Encontre a matriz de T em relação às bases canônicas das transformações lineares abaixo. Determine o núcleo e descreva-os geometricamente.
2. T: R^3 R, T(x, y, z)=x-2 y;

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear Tcolon R^3toR definida por
T(x,y,z)=x-2y
Precisamos achar a matriz de T nas bases canônicas de R^3 e R e, em seguida, determinar o núcleo ( ker T) e descrevê-lo geometricamente.

Passo 2

Para obter a matriz de T em relação às bases canônicas, calculamos as imagens dos vetores da base de R^3:
T(e1)=T(1,0,0)=1, T(e2)=T(0,1,0)=-2, T(e3)=T(0,0,1)=0
Logo, a matriz de T na base canônica é
1 & -2 & 0

Passo 3

O núcleo de T é definido por
ker T = (x,y,z)inR^3 mid T(x,y,z)=0,
ou seja, pela equação
x - 2y = 0

Passo 4

Resolvendo x - 2y = 0 obtemos x = 2y. Definindo parâmetros livres y = t e z = s, qualquer vetor do núcleo pode ser escrito como
(x,y,z) = (2t,t,s) = t,(2,1,0) + s,(0,0,1),
com t,sinR.

Passo 5

Geometricamente, ker T é o plano que passa pela origem em R^3 definido por
x - 2y = 0,
ou seja, o plano gerado pelos vetores (2,1,0) e (0,0,1).

Resposta

A matriz de T em relação às bases canônicas é
1 & -2 & 0 ,
o núcleo é
ker T = (2t,t,s)mid t,sinR,
e geometricamente trata-se do plano em R^3 definido por x - 2y = 0, gerado pelos vetores (2,1,0) e (0,0,1).

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