Identifique uma transformação linear que:
associa um vetor de R^2 a um vetor paralelo, com comprimento dobrado.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear Tcolon R^2 to R^2 que, para cada vetor de entrada, retorna um vetor paralelo ao original e com comprimento dobrado. O conteúdo aqui é o de transformações de escala (dilatações) em R^2.

Passo 2

Para dobrar o comprimento mantendo a direção de qualquer vetor v, basta multiplicar cada coordenada de v por 2. Isso define a transformação
T(x,y) = (2x,,2y)
Verificamos que:
  1. T é linear, pois para quaisquer u,vinR^2 e escalar alpha temos
T(u+v) = 2(u+v) = 2u + 2v = T(u) + T(v),
T(alpha,u) = 2(alpha,u) = alpha,(2u) = alpha,T(u)
  1. O vetor T(x,y) é paralelo a (x,y) (mesma direção) e seu módulo é
|T(x,y)| = |2(x,y)| = 2,|(x,y)|

Resposta

A transformação linear é
T(x,y) = (2x,,2y),
ou, em forma matricial,
T(v) = 2I,v, I = 1 & 00 & 1

Exercícios relacionados