Determine se as transformações a seguir são ou não isomorfismos:
4. , com
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^4 to M2times2(R), T(x,y,z,w)=x & 2y[0.3em]2y-w & z-w,
e pede para determinar se T é um isomorfismo. Para isso vamos usar o fato de que, entre espaços de mesma dimensão finita, basta verificar que o núcleo de T é trivial (ou que T é injetora) para concluir que T é bijetora.]
Passo 2
Verificamos rapidamente que T é linear pois cada entrada da matriz imagem é combinação linear das variáveis x,y,z,w. Assim faz sentido estudar o núcleo de T.
Passo 3
Para achar
Da segunda equação vem dá . Finalmente leva a . Logo
Passo 4
Como ker T é trivial, T é injetora. Além disso dimR^4=4 e dim M2times2(R)=4, logo uma transformação linear injetora entre espaços de mesma dimensão finita é também sobrejetora. Concluímos que T é bijetora.