Considerando a transformada fasorial com o fator \exp (-j \omega t), a seguinte onda plana no ar \bar{E}_{i s}=10 e^{j(3 x+4 y)} \bar{a}_{z}(\mathrm{~V} / \mathrm{m}) incide em um dielétrico (x \geq 0) com \mu_{r}=1, \varepsilon_{r}=2,5 e \sigma=0. Calcule: (a) o ângulo de incidência e (b) o coeficiente de transmissão. (2,5pto)

Passo 1

O enunciado dá uma onda plana incidente em ar sobre um dielétrico no plano x=0. A onda é
\bar{E}_i = 10\,e^{j(3x+4y)}\,\bar{a}_z\quad(\mathrm{V}/\mathrm{m}),
o ar tem \mu_{r1}=1,\;\varepsilon_{r1}=1,\;\sigma_1=0 e o dielétrico (para x\ge0) tem \mu_{r2}=1,\;\varepsilon_{r2}=2,5,\;\sigma_2=0.
Pede-se (a) o ângulo de incidência \theta_i medido em relação à normal ao plano x=0 e (b) o coeficiente de transmissão de campo para polarização perpendicular (s).

Passo 2

Extraímos o vetor de onda incidente
\vect{k}_i = 3\,\bar{a}_x + 4\,\bar{a}_y,
seu módulo é \lvert\vect{k}_i\rvert=\sqrt{3^2+4^2}=5. Como a normal ao plano x=0 é \bar{a}_x, temos
\sin\theta_i =\frac{\text{componente tangencial}}{\lvert\vect{k}_i\rvert} =\frac{4}{5},
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\theta_i = \arcsin\!\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)\approx 53{,}13^\circ \quad\text{e}\quad \cos\theta_i = \tfrac{3}{5}=0{,}6.

Passo 3

Pela lei de Snell, com índices n_1=1 e n_2=\sqrt{\varepsilon_{r2}}=\sqrt{2,5}:
n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta_t = \frac{\sin\theta_i}{\sqrt{2,5}} = \frac{4/5}{\sqrt{2,5}}\approx0{,}5066,
\theta_t = \arcsin(0{,}5066)\approx30{,}4^\circ, \quad \cos\theta_t = \sqrt{1-\sin^2\theta_t}\approx0{,}8622.

Passo 4

Para polarização perpendicular (s), o coeficiente de transmissão de campo é
t_s =\frac{2\,\eta_2\cos\theta_i}{\eta_2\cos\theta_i+\eta_1\cos\theta_t},
onde \eta_1=\eta_0\approx377\\ \Omega e \eta_2=\eta_0/\sqrt{\varepsilon_{r2}}.

Passo 5

Cálculo numérico:
\eta_2 = \frac{377}{\sqrt{2,5}}\approx238{,}5\\ \Omega,
t_s =\frac{2\cdot238{,}5\cdot0{,}6}{238{,}5\cdot0{,}6+377\cdot0{,}8622} \approx0{,}611.

Resposta

(a) \theta_i \approx 53{,}13^\circ
(b) t_s \approx 0{,}611

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