Considerando a transformada fasorial com o fator \exp (-j \omega t), a seguinte onda plana \bar{E}_{s}=32 e^{j(2 r+6 y)} \bar{a}_{z}(\mathrm{~V} / \mathrm{m}) se propaga em um dielétrico com \mu_{r}=1, \varepsilon_{r}=4,3 e \sigma=0. Determine: (a) a frequência angular \omega \mathrm{e} (b) o campo magnético \bar{H}_{s}. (2,5pto)

Passo 1

O enunciado dá uma onda plana fasorial
\bar{E}_{s}=32\,e^{j\,(2x+6y)}\,\bar{a}_{z}\quad(\text{V/m})
propagando-se num dielétrico com \mu_{r}=1, \varepsilon_{r}=4,3 e \sigma=0.
Queremos (a) a frequência angular \omega e (b) o campo magnético \bar{H}_{s}.
Para isso vamos usar:
  1. O vetor de fase \mathbf{k}=(2\,\bar a_x+6\,\bar a_y) tem magnitude
    k = \sqrt{2^2 + 6^2} 2. Em meio sem perdas \displaystyle k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}.
  2. O campo magnético de uma onda plana é
\bar H = \frac{1}{\eta}\,\hat a_k\times\bar E
onde \eta=\sqrt{\mu/\varepsilon} e \hat a_k=\mathbf{k}/k.

Passo 2

Calcular a magnitude do vetor de fase:
k = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{40}\approx6{,}3249\\ \text{rad/m}.

Passo 3

Determinar a frequência angular usando
k = \omega\sqrt{\mu\varepsilon} \quad\Longrightarrow\quad \omega = \frac{k}{\sqrt{\mu_0\mu_r\,\varepsilon_0\varepsilon_r}}.
Como \mu_r=1 e \varepsilon_r=4,3, temos \sqrt{\mu_0\varepsilon_0} = 1/c e
\omega = k\,\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}} =6{,}3249\;\frac{3\times10^8}{\sqrt{4{,}3}} \approx9{,}16\times10^8\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Calcular a impedância intrínseca do meio:
\eta = \sqrt{\frac{\mu_0\mu_r}{\varepsilon_0\varepsilon_r}} = \frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_r}} = \frac{377}{\sqrt{4{,}3}} \approx181{,}8\\ \Omega.

Passo 5

Obter o versor de propagação
\hat a_k = \frac{2\,\bar a_x + 6\,\bar a_y}{k} = \frac{2}{6{,}3249}\,\bar a_x + \frac{6}{6{,}3249}\,\bar a_y.

Passo 6

Calcular \hat a_k\times\bar a_z:
usando \bar a_x\times\bar a_z=-\bar a_y e \bar a_y\times\bar a_z= \bar a_x,
\hat a_k\times\bar a_z = \frac{2}{k}(\bar a_x\times\bar a_z) + \frac{6}{k}(\bar a_y\times\bar a_z) = \frac{2}{k}(-\bar a_y) + \frac{6}{k}\,\bar a_x = \frac{6}{k}\,\bar a_x -\frac{2}{k}\,\bar a_y.
Logo o campo magnético é
\bar H_{s} = \frac{1}{\eta}\,e^{j(2x+6y)}\;32\;\bigl(\hat a_k\times\bar a_z\bigr) = \frac{32}{\eta\,k}\,e^{j(2x+6y)}\,(6\,\bar a_x -2\,\bar a_y).
Substituindo valores numéricos \eta k\approx181{,}8\times6{,}3249\approx1149{,}3,
\bar H_{s} \approx0{,}02785\,e^{j(2x+6y)}\,(6\,\bar a_x -2\,\bar a_y) \quad(\text{A/m}).

Resposta

(a) \displaystyle \omega\approx9{,}16\times10^{8}\\ \text{rad/s}.
(b) \displaystyle \bar H_{s} =\frac{32}{\eta\,k}\,e^{j(2x+6y)}\,(6\,\bar a_x -2\,\bar a_y) \approx0{,}02785\,e^{j(2x+6y)}\,(6\,\bar a_x -2\,\bar a_y)\\ \text{A/m}.

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