Encontre o modulo e a fase dos seguintes fasores:
B_{s}=(4-j 5) e^{-\beta}.

Passo 1

O enunciado pede o módulo e a fase do fasor
B_{s} = (4 - j\,5)\,e^{-\beta}.
O conteúdo aqui é conversão de número complexo para forma polar, multiplicado por um fator real e^{-\beta}. Vamos primeiro achar módulo e fase de 4 - j\,5 e depois incorporar o fator e^{-\beta}.

Passo 2

Calcular o módulo de 4 - j\,5. Pela definição,
|4 - j\,5| = \sqrt{4^{2} + (-5)^{2}} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}.

Passo 3

Como o fator e^{-\beta} é real e positivo (não altera fase), o módulo de B_{s} fica
|B_{s}| = |4 - j\,5|\;\bigl|e^{-\beta}\bigr| = \sqrt{41}\,e^{-\beta}.

Passo 4

Calcular a fase de 4 - j\,5. Usamos
\arg(4 - j\,5) = \arctan\bigl(\tfrac{\Im}{\Re}\bigr) = \arctan\!\bigl(\tfrac{-5}{4}\bigr).
Como 4>0 e -5<0, estamos no quarto quadrante, então
\arg(4 - j\,5) = -\,\arctan\!\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr).

Passo 5

O fator real e^{-\beta} não adiciona fase, logo
\arg(B_{s}) = -\,\arctan\!\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr).
Numericamente, em graus, \arg(B_{s})\approx -51,34^\circ.

Resposta

|B_{s}| = \sqrt{41}\,e^{-\beta}, \qquad \arg(B_{s}) = -\,\arctan\!\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)\approx -51,34^\circ.

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