Três nadadores \mathrm{A}, \mathrm{B} e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmas chances de vencer e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer do que C . Calcule a probabilidades de A ou C vencer. a) 2 / 5 \mathrm{~b}) 3 / 5 \mathrm{c}) 1 / 5

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dito):
  • Três nadadores: A, B e C.
  • A e B têm as mesmas chances de vencer.
  • Cada um de A e B tem duas vezes mais chances de vencer do que C.
    O que é pedido:
  • Calcular a probabilidade de que A ou C vença (isto é, a probabilidade de que o vencedor seja A ou C).
    Opções fornecidas: a) 2/5 \n b) 3/5 \n c) 1/5.

Passo 2

Definimos variáveis para ficar claro:
  • p_A = probabilidade de A vencer;
  • p_B = probabilidade de B vencer;
  • p_C = probabilidade de C vencer.
    Lembrete básico de probabilidade (isso é importante na prova):
  • Cada p é um número entre 0 e 1.
  • Como exatamente um dos três vence, as três probabilidades somam 1, ou seja,
p_A + p_B + p_C = 1.

Passo 3

Use as relações dadas no enunciado:
  • “A e B têm as mesmas chances” significa
p_A = p_B.
  • “Cada um [A e B] tem duas vezes mais chances de vencer do que C” significa, por exemplo,
p_A = 2\,p_C.
(isto vale igualmente para p_B porque p_B=p_A.)

Passo 4

Substituímos as igualdades na soma das probabilidades para resolver:
Como p_B=p_A, a soma fica
p_A + p_A + p_C = 1 \quad\Rightarrow\quad 2p_A + p_C = 1.
Como p_A = 2p_C, substitui-se p_A por 2p_C:
2(2p_C) + p_C = 1.
Calculando:
4p_C + p_C = 1 \quad\Rightarrow\quad 5p_C = 1.
Logo
p_C = \frac{1}{5}.
E então
p_A = 2p_C = 2\cdot\frac{1}{5} = \frac{2}{5}.
Também p_B = p_A = \dfrac{2}{5}. Como verificação rápida:
\frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{5}{5} = 1,
como deveria ser.

Passo 5

Agora queremos a probabilidade de “A ou C vencer”. Esses dois eventos são mutuamente exclusivos (não podem acontecer simultaneamente: só um nadador vence). Para eventos mutuamente exclusivos,
P(A\\ \text{ou}\\ C) = P(A) + P\text{(C)}.
Substituindo os valores encontrados:
P(A\\ \text{ou}\\ C) = \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}.

Resposta

\tfrac{3}{5}

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