Maria e Mariana, gêmeas idênticas, foram lotadas no mesmo departamento da instituição para a qual se submeteram a concurso público. No dia em que assumiram suas funções, foram informadas de que no sábado seguinte (aniversário das gêmeas, com comemoração de há muito definida) haveria um plantão, do qual participariam quatro funcionárias escolhidas através de sorteio. Se com a chegada das irmãs o departamento passou a contar com dez funcionárias, qual a probabilidade de que Maria e Mariana não sejam escaladas para o plantão e possam, tranquilamente, comemorar seus aniversários? a) 1 / 2 b) 1 / 3 c) 1 / 5 d) 2 / 15 e) 8 / 15

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • 10 funcionárias no departamento (após a chegada das gêmeas).
  • Dessas 10, duas são as irmãs Maria e Mariana.
  • Será sorteado um plantão com 4 funcionárias (sem ordem, sem reposição).
  • Pergunta: qual a probabilidade de que Maria e Mariana NÃO sejam escaladas (ou seja, nenhuma das duas seja escolhida)?

Passo 2

Vamos pensar em contagem: para calcular probabilidades em sorteios com todos os resultados igualmente prováveis, é comum contar quantos resultados totais existem e quantos resultados favoráveis ao evento pedido. Aqui:
  • O número total de maneiras de escolher 4 funcionárias dentre as 10 é dado por uma combinação \binom{10}{4}.
Explicando combinações (aula rapidinha, sem pânico): \binom{n}{k} é o número de formas de escolher k elementos de um conjunto de n elementos quando a ordem não importa. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Ex.: 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.

Passo 3

Calcular o total \binom{10}{4}. Usando a forma prática (cancelando fatoriais):
\binom{10}{4}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora fazemos as simplificações pequenas passo a passo:
\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{24}.
Podemos dividir 8 por 4 para simplificar:
= \frac{10\cdot9\cdot2\cdot7}{6} = \frac{10\cdot9\cdot14}{6}.
Dividindo 9 por 3 (parte de 6) e 10 por 2 (ou simplificar direto) chega-se ao valor conhecido:
\binom{10}{4}=210.

Passo 4

Agora o número de resultados favoráveis: queremos escolher 4 funcionárias sem escolher as duas irmãs. Isso significa escolher as 4 dentre as outras 8 funcionárias. O número de maneiras é
\binom{8}{4}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Calculando passo a passo:
\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{24}=\frac{1680}{24}=70.

Passo 5

A probabilidade buscada é a razão entre os casos favoráveis e os casos totais:
P=\frac{\binom{8}{4}}{\binom{10}{4}}=\frac{70}{210}.
Simplificando a fração:
\frac{70}{210}=\frac{1}{3}.

Passo 6

(Como reforço didático rápido) Outra forma — às vezes mais intuitiva — é calcular diretamente a probabilidade de, ao sortear as 4 pessoas uma a uma sem reposição, em nenhum sorteio sair uma das irmãs:
  • Probabilidade de a 1ª sorteada não ser irmã: \dfrac{8}{10}.
  • Dada essa, probabilidade de a 2ª não ser irmã: \dfrac{7}{9}.
  • Dada essas, probabilidade de a 3ª não ser irmã: \dfrac{6}{8}.
  • Dada essas, probabilidade de a 4ª não ser irmã: \dfrac{5}{7}.
Multiplicando:
\frac{8}{10}\cdot\frac{7}{9}\cdot\frac{6}{8}\cdot\frac{5}{7}=\frac{6\cdot5}{10\cdot9}=\frac{30}{90}=\frac{1}{3},
mesmo resultado — ótimo sinal de consistência.

Resposta

\dfrac{1}{3}

Exercícios relacionados