Sejam I subset R um intervalo aberto e f: I R uma função. Dado a in I, lembre que a reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) é a (única) reta que passa pelo ponto (a, f(a)) e tem inclinação igual a
f^prime(a)=lim x a f(x)-f(a)x-a
quando o limite existe. Neste caso, a equação da reta tangente y=y(x) é dada por y-f(a)=f^prime(a)(x-a). Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação f^prime(a) em um ponto genérico. Em seguida, calcule a equação da reta tangente no ponto indicado.
f(x)=|x|, no ponto (0, f(0))

Passo 1

O enunciado pede para lembrarmos que a reta tangente a f num ponto (a,f(a)) tem inclinação
f'(a)=limxto af(x)-f(a)x-a,
e, se esse limite existir, a equação da reta é
y - f(a) = f'(a),(x-a)
Aqui f(x)=|x| e nos interessamos no ponto a=0. Para isso, primeiro vamos achar f'(a) para um a genérico.

Passo 2

Para a>0, f(x)=|x|=x numa vizinhança de a, logo
f'(a)=limxto ax - ax-a=1
Para a<0, f(x)=|x|=-x perto de a, então
f'(a)=limxto a-x -(-a)x-a =limxto a-(x-a)x-a=-1

Passo 3

Em a=0 calculamos as derivadas laterais:
f'+(0)=limxto0^+|x|-|0|x-0 =limxto0^+xx=1,
f'-(0)=limxto0^-|x|-|0|x-0 =limxto0^--xx=-1
Como f'+(0)neq f'-(0), o limite que define f'(0) não existe.

Passo 4

Não existindo f'(0), não há inclinação bem definida e, portanto, não existe reta tangente ao gráfico de f(x)=|x| no ponto (0,0).

Resposta

Para
No ponto .

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