Seja A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 5 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right).
(a) Encontre os autovalores de A.
(b) Para cada autovalor de A encontre o autoespaço associado.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede (a) os autovalores de A e (b) os autoespaços correspondentes. Vamos usar que os autovalores são raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 e, em seguida, resolver (A-\lambda I)x=0 para cada \lambda.

Passo 2

Como A é triangular, o determinante de A-\lambda I é o produto dos elementos da diagonal:
\det(A-\lambda I)= (1-\lambda)\,(5-\lambda)\,(1-\lambda).
Logo, os autovalores são as raízes desse produto, ou seja
\lambda_1 = 1\quad\text{(multiplicidade 2)}, \qquad \lambda_2 = 5\quad\text{(multiplicidade 1)}.

Passo 3

Para \lambda=1 resolvemos
(A - I)x = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 4 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
As duas primeiras linhas dão 2x_2=0 e 4x_2=0, de onde x_2=0. A terceira linha é 0=0, sem trazer restrição. Assim x_1 e x_3 são livres, e o autoespaço associado a \lambda=1 é
E_{1} = \{(x_1,0,x_3)\mid x_1,x_3\in\mathbb{R}\} =\span\{(1,0,0),(0,0,1)\}.

Passo 4

Para \lambda=5 resolvemos
(A - 5I)x = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem -4x_1+2x_2=0, ou seja x_2=2x_1. Da terceira linha vem -4x_3=0, logo x_3=0. Como x_1 é livre, o autoespaço para \lambda=5 é
E_{5} = \{(t,2t,0)\mid t\in\mathbb{R}\} =\span\{(1,2,0)\}.

Resposta

(a) Os autovalores são \lambda=1 (com multiplicidade 2) e \lambda=5.
(b) Os autoespaços são
E_{1} = \span\{(1,0,0),(0,0,1)\}, \qquad E_{5} = \span\{(1,2,0)\}.

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