Seja o Triângulo A B C formado pelos pontos A(1,1,2), B(5,1,3) e C(-3,9,3). Analisando esse triângulo ABC , responda:
a) Calcule o comprimento dos lados \overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{AC}} e \overline{\mathrm{BC}} e determine o perímetro;
b) Classifique o triângulo ABC em relação aos lados;
c) Calcule os ângulos \hat{A}, \hat{B} e \hat{C};
d) Classifique o triângulo ABC em relação aos ângulos;
e) Calcule a área do triângulo ABC ;

Passo 1

O enunciado dá o triângulo ABC cujos vértices em \mathbb R^3 são A(1,1,2), B(5,1,3) e C(-3,9,3).
Vamos usar:
– distância entre pontos para comprimentos dos lados,
– soma desses comprimentos para o perímetro,
– comparação de comprimentos para classificação por lados,
– lei dos cossenos para os ângulos \hat A, \hat B, \hat C,
– comparação dos ângulos para classificação por ângulos,
– produto vetorial de \vec{AB} e \vec{AC} para a área.

Passo 2

Calcular os vetores lado e seus comprimentos:
\vec{AB} = B - A = (5-1,\,1-1,\,3-2) = (4,0,1),
AB = \|\vec{AB}\| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{17}.
\vec{AC} = C - A = (-3-1,\,9-1,\,3-2) = (-4,8,1),
AC = \|\vec{AC}\| = \sqrt{(-4)^2 + 8^2 + 1^2} = \sqrt{81} = 9.
\vec{BC} = C - B = (-3-5,\,9-1,\,3-3) = (-8,8,0),
BC = \|\vec{BC}\| = \sqrt{(-8)^2 + 8^2 + 0^2} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}.

Passo 3

Perímetro e classificação por lados:
\text{Perímetro }P = AB + AC + BC = \sqrt{17} + 9 + 8\sqrt{2}.í
Os três comprimentos \sqrt{17}, 9 e 8\sqrt{2} são todos diferentes, logo o triângulo é escaleno.

Passo 4

Ângulos pelo teorema dos cossenos:
Para \hat A:
\cos\hat A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2\,AB\,AC} = \frac{17 + 81 - 128}{2\cdot\sqrt{17}\cdot 9} = -\frac{5}{3\sqrt{17}},
\hat A = \operatorname{arccos}\!\Bigl(-\tfrac{5}{3\sqrt{17}}\Bigr)\approx 113{,}8^\circ.
Para \hat B:
\cos\hat B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2\,AB\,BC} = \frac{17 + 128 - 81}{2\cdot\sqrt{17}\cdot 8\sqrt{2}} = \frac{64}{16\sqrt{34}} = \frac{4}{\sqrt{34}},
\hat B = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{4}{\sqrt{34}}\bigr)\approx 46{,}6^\circ.
Para \hat C, ou por soma 180^\circ - \hat A - \hat B:
\hat C \approx 180^\circ - 113{,}8^\circ - 46{,}6^\circ = 19{,}6^\circ.

Passo 5

Como \hat A\approx 113{,}8^\circ>90^\circ, o triângulo é obtusângulo.

Passo 6

Área pelo módulo do produto vetorial:
\vec{AB}\times\vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 4 & 0 & 1\\\\ -4 & 8 & 1 \end{vmatrix} = (-8,\,-8,\,32),
\|\vec{AB}\times\vec{AC}\| = \sqrt{(-8)^2 + (-8)^2 + 32^2} = 24\sqrt{2},
\text{Área} = \frac12\,\|\vec{AB}\times\vec{AC}\| = 12\sqrt{2}.Á

Resposta

a) AB=\sqrt{17}, AC=9, BC=8\sqrt{2}. \displaystyle P=\sqrt{17}+9+8\sqrt{2}. b) Escaleno.
c) \hat A\approx113{,}8^\circ, \hat B\approx46{,}6^\circ, \hat C\approx19{,}6^\circ.
d) Obtusângulo.
e) \text{Área}=12\sqrt{2}.Á

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