Considerando o Vetor A. \vec{A}=x^{2} z \hat{i}-2 y^{3} z^{2} \hat{j}+x y^{2} z \hat{k}, achar \nabla \cdot \vec{A} ou (div \vec{A} ) no ponto: (2,-1,1).
Explicação didática das derivadas parciais: \frac{\partial}{\partial x} significa derivar em relação a x mantendo y e z constantes; \frac{\partial}{\partial y} deriva em relação a y mantendo x,z constantes; e \frac{\partial}{\partial z} deriva em relação a z mantendo x,y constantes. Vamos aplicar isso componente a componente.
Passo 3
Calcular \frac{\partial A_x}{\partial x} para A_x=x^{2} z.
Aqui z é tratado como constante. Usamos a regra do poder: a derivada de x^{2} em relação a x é 2x. Portanto,
Pequeno exemplo paralelo: se tivéssemos f(x,y)=x^{3}y, então \partial f/\partial x=3x^{2}y (tratando y constante).
Passo 4
Calcular \frac{\partial A_y}{\partial y} para A_y=-2 y^{3} z^{2}.
Aqui z é tratado como constante; z^{2} é constante multiplicativa. Usando a regra do poder:
Explanação dos cálculos: (-1)^{2}=1 e 1^{2}=1, por isso os termos com potências ficam simples.
Passo 7
Somando os valores avaliados no ponto:
\nabla\cdot\vec{A}\big|_{(2,-1,1)}=4+(-6)+2=0.
Interpretação rápida e motivadora: o resultado zero significa que, naquele ponto, não há “fontes” nem “sumidouros” locais do campo (se você imaginar \vec{A} como um campo de velocidade de fluido, seria um ponto localmente incompressível).