Considerando o Vetor A. \vec{A}=x^{2} z \hat{i}-2 y^{3} z^{2} \hat{j}+x y^{2} z \hat{k}, achar \nabla \cdot \vec{A} ou (div \vec{A} ) no ponto:
(2,-1,1).

Passo 1

O enunciado fornece o vetor
\vec{A}=x^{2} z\,\hat{i}-2 y^{3} z^{2}\,\hat{j}+x y^{2} z\,\hat{k}
e pede para achar \nabla\cdot\vec{A} (ou \operatorname{div}\vec{A}) no ponto (2,-1,1). As informações relevantes são:
  • Componente x de \vec{A}: A_x=x^{2} z.
  • Componente y de \vec{A}: A_y=-2 y^{3} z^{2}.
  • Componente z de \vec{A}: A_z=x y^{2} z.
  • Ponto onde devemos avaliar: (x,y,z)=(2,-1,1).

Passo 2

Definição e interpretação: a divergência de um campo vetorial \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) é dada por
\nabla\cdot\vec{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}.
Explicação didática das derivadas parciais: \frac{\partial}{\partial x} significa derivar em relação a x mantendo y e z constantes; \frac{\partial}{\partial y} deriva em relação a y mantendo x,z constantes; e \frac{\partial}{\partial z} deriva em relação a z mantendo x,y constantes. Vamos aplicar isso componente a componente.

Passo 3

Calcular \frac{\partial A_x}{\partial x} para A_x=x^{2} z.
Aqui z é tratado como constante. Usamos a regra do poder: a derivada de x^{2} em relação a x é 2x. Portanto,
\frac{\partial A_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2} z\big)=2x\,z.
Pequeno exemplo paralelo: se tivéssemos f(x,y)=x^{3}y, então \partial f/\partial x=3x^{2}y (tratando y constante).

Passo 4

Calcular \frac{\partial A_y}{\partial y} para A_y=-2 y^{3} z^{2}.
Aqui z é tratado como constante; z^{2} é constante multiplicativa. Usando a regra do poder:
\frac{\partial A_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(-2 y^{3} z^{2}\big)=-2\cdot 3 y^{2} z^{2}=-6 y^{2} z^{2}.
Explicação: derivamos y^{3} obtendo 3y^{2} e multiplicamos pelo coeficiente -2 z^{2}.

Passo 5

Calcular \frac{\partial A_z}{\partial z} para A_z=x y^{2} z.
Aqui x e y são tratados como constantes; a derivada de z em relação a z é 1. Assim,
\frac{\partial A_z}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(x y^{2} z\big)=x y^{2}.
Observação: é como se tirássemos o z deixando o fator multiplicativo x y^{2}.

Passo 6

Agora juntamos as três derivadas para obter a expressão geral da divergência:
\nabla\cdot\vec{A}=2x z-6 y^{2} z^{2}+x y^{2}.
Vamos avaliar essa expressão no ponto (x,y,z)=(2,-1,1). Primeiro calcule cada termo separadamente substituindo os valores:
\left.\frac{\partial A_x}{\partial x}\right|_{(2,-1,1)}=2\cdot 2\cdot 1=4,
\left.\frac{\partial A_y}{\partial y}\right|_{(2,-1,1)}=-6\cdot (-1)^{2}\cdot 1^{2}=-6,
\left.\frac{\partial A_z}{\partial z}\right|_{(2,-1,1)}=2\cdot (-1)^{2}=2.
Explanação dos cálculos: (-1)^{2}=1 e 1^{2}=1, por isso os termos com potências ficam simples.

Passo 7

Somando os valores avaliados no ponto:
\nabla\cdot\vec{A}\big|_{(2,-1,1)}=4+(-6)+2=0.
Interpretação rápida e motivadora: o resultado zero significa que, naquele ponto, não há “fontes” nem “sumidouros” locais do campo (se você imaginar \vec{A} como um campo de velocidade de fluido, seria um ponto localmente incompressível).

Resposta

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