Considerando os vetores \boldsymbol{v}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{v}_{\mathbf{2}} e \boldsymbol{v}_{\mathbf{3}} abaixo, determine a) para quais valores de h o vetor \boldsymbol{v}_{\mathbf{3}} pertence a \mathcal{L}\left(\left\{\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{1}}, \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{2}}\right\}\right) ? b) para quais valores de h o conjunto \left\{\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\right\} é linearmente dependente?
\boldsymbol{v}_{\mathbf{1}}=\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -3 \\\\ 2 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{v}_{\mathbf{2}}=\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 9 \\\\ -6 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{v}_{\mathbf{3}}=\left[\begin{array}{r} 5 \\\\ -7 \\\ h \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
\boldsymbol{v}_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{v}_{2}=\begin{pmatrix}-3\\\ 9\\\ -6\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{v}_{3}=\begin{pmatrix}5\\\ -7\h\end{pmatrix}
e pede:
a) para quais h vale \boldsymbol{v}_3\in\mathcal{L}\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}, ou seja, quando \boldsymbol{v}_3 é combinação linear de \boldsymbol{v}_1 e \boldsymbol{v}_2;
b) para quais h o conjunto \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\} é linearmente dependente.

Passo 2

Note que
\boldsymbol{v}_{2} = -3\,\boldsymbol{v}_{1},
logo \mathcal{L}\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\} = \mathcal{L}\{\boldsymbol{v}_1\} é a reta gerada por \boldsymbol{v}_1. Ou seja, qualquer combinação a\,\boldsymbol{v}_1 + b\,\boldsymbol{v}_2 vale
a\,\boldsymbol{v}_1 + b\,\boldsymbol{v}_2 = (a - 3b)\,\boldsymbol{v}_1.

Passo 3

Para ter \boldsymbol{v}_3\in\mathcal{L}\{\boldsymbol{v}_1\}, devemos ter um escalar c tal que
\boldsymbol{v}_3 = c\,\boldsymbol{v}_1 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix}5\\\ -7\h\end{pmatrix} = c\,\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix}.
Das duas primeiras coordenadas vem
5 = c, \quad -7 = -3c \;\Longrightarrow\; c=5 \quad\text{e}\quad -7 = -15,
o que é impossível. Logo não existe c que faça isso, independentemente de h.

Passo 4

Um conjunto já contendo \boldsymbol{v}_1 e \boldsymbol{v}_2=-3\boldsymbol{v}_1 é automaticamente linearmente dependente, pois basta os escalares 3 e 1 em
3\,\boldsymbol{v}_1 + 1\,\boldsymbol{v}_2 = 3\,\boldsymbol{v}_1 -3\,\boldsymbol{v}_1 = \boldsymbol{0}.
Assim, para todo h, \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\} é dependente.

Resposta

a) Não há nenhum valor de h que faça \boldsymbol{v}_3\in\mathcal{L}\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}.\n b) O conjunto \(\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\} é linearmente dependente para todo h.)

Exercícios relacionados