Determine se as colunas da matriz dada formam um conjunto linearmente independente. Justifique cada resposta.
\left[\begin{array}{rrrr}1 & 4 & -3 & 0 \\\\ -2 & -7 & 5 & 1 \\\\ -4 & -5 & 7 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 & 0\\\\ -2 & -7 & 5 & 1\\\\ -4 & -5 & 7 & 5 \end{pmatrix}
cuja colunas são vetores em \mathbb{R}^3. Pergunta-se se esse conjunto de quatro vetores é linearmente independente. Lembrando que, em \mathbb{R}^n, qualquer família com mais de n vetores é automaticamente linearmente dependente.

Passo 2

Para justificar construtivamente, consideremos a combinação linear nula
\alpha_{1}\,c_{1}+\alpha_{2}\,c_{2}+\alpha_{3}\,c_{3}+\alpha_{4}\,c_{4}=0,
onde
c_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ -4\end{pmatrix},\; c_{2}=\begin{pmatrix}4\\\ -7\\\ -5\end{pmatrix},\; c_{3}=\begin{pmatrix}-3\\\ 5\\\ 7\end{pmatrix},\; c_{4}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 5\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} \alpha_{1}+4\alpha_{2}-3\alpha_{3}=0,\\\\ -2\alpha_{1}-7\alpha_{2}+5\alpha_{3}+\alpha_{4}=0,\\\\ -4\alpha_{1}-5\alpha_{2}+7\alpha_{3}+5\alpha_{4}=0. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem
\alpha_{1}=-4\alpha_{2}+3\alpha_{3}.
Substituindo nas outras duas e eliminando, obtemos
\alpha_{2}=0, \quad \alpha_{4}=\alpha_{3}.
Assim a solução geral é
(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}) =(3t,\,0,\,t,\,t),
com t\neq0, o que mostra existência de combinação não trivial.

Passo 4

Como encontramos (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4})\neq(0,0,0,0) tal que a combinação zera, concluímos que as colunas de A são linearmente dependentes.

Resposta

As colunas são linearmente dependentes.

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