Determine se as colunas da matriz dada formam um conjunto linearmente independente. Justifique cada resposta.
\left[\begin{array}{rrr}0 & -3 & 9 \\\\ 2 & 1 & -7 \\\\ -1 & 4 & -5 \\\\ 1 & -4 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & -3 & 9\\\\ 2 & 1 & -7\\\\ -1 & 4 & -5\\\\ 1 & -4 & -2 \end{pmatrix}
e pede para verificar se as colunas de A são linearmente independentes. Vamos usar a definição: colunas v_1,v_2,v_3 são L.I. se a única solução de
a_1\,v_1 + a_2\,v_2 + a_3\,v_3 = 0
for a_1=a_2=a_3=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear igual a zero, obtemos o sistema
\begin{cases} 0\,a_1 \;-\;3\,a_2 \;+\;9\,a_3 = 0\\\\ 2\,a_1 \;+\;1\,a_2 \;-\;7\,a_3 = 0\\\\ -1\,a_1 \;+\;4\,a_2 \;-\;5\,a_3 = 0\\\\ 1\,a_1 \;-\;4\,a_2 \;-\;2\,a_3 = 0 \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação segue
-3\,a_2 + 9\,a_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a_2 = 3\,a_3.
Substituindo na segunda equação:
2\,a_1 + a_2 - 7\,a_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2\,a_1 + 3\,a_3 -7\,a_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2\,a_1 -4\,a_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a_1 = 2\,a_3.

Passo 4

Agora usamos a terceira equação para verificar consistência:
-1\,(2\,a_3) + 4\,(3\,a_3) -5\,a_3 = -2\,a_3 +12\,a_3 -5\,a_3 = 5\,a_3 = 0
isso implica a_3=0. Logo a_2=3\,a_3=0 e a_1=2\,a_3=0.

Passo 5

Como a única solução é a_1=a_2=a_3=0, as colunas de A são linearmente independentes.

Resposta

As colunas da matriz são linearmente independentes.

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