Considerando os vetores u=2imath-jmath+2k, v=5imath+5jmath-2k e w=3imath+6jmath, determine:
Se os vetores u, v e w são LD.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
u=(2,,-1,,2), v=(5,,5,,-2), w=(3,,6,,0),
e pede para verificar se eles são linearmente dependentes. Para isso, vamos montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular seu determinante: se ele for diferente de zero, só existe a solução trivial da combinação linear homogênea, logo os vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Montamos a matriz M com u,v,w como colunas:
M = 2 & 5 & 3 -1 & 5 & 6 2 & -2 & 0

Passo 3

Calculamos det(M) por expansão na primeira linha:
det(M) = 25 & 6-2 & 0 -5-1 & 62 & 0 +3-1 & 52 & -2
Agora cada 2times2:
5 & 6-2 & 0 =5cdot0 - 6cdot(-2)=12, -1 & 62 & 0 =-1cdot0 - 6cdot2=-12, -1 & 52 & -2 =(-1)cdot(-2) - 5cdot2=2-10=-8
Substituindo:
det(M)=2cdot12 ;-;5cdot(-12);+;3cdot(-8) =24 +60 -24 =60

Passo 4

Como det(M)=60neq0, a única solução de
alphau+betav+gammaw=vec0
é alpha=beta=gamma=0. Portanto os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores u, v e w não são linearmente dependentes (são linearmente independentes).

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